最大导出匹配数

Liu-Zhou定理：

若 G= ( X, Y ) 是连通二分图，则 G 的最大导出匹配数为 iμ( G ) = Max{ | S | | S ⊆ X 且对于任意 T ⊆ S 有 N_G( S ) ≠ N_G( T ) }

证明：

若集合 T 满足对于任意 T ⊆ S 有 N_G( S ) ≠ N_G( T ) ，则称 T 满足性质 ρ，

设 k = Max{ | S | | S ⊆ X 且 S 具备性质ρ }，

设 M 为 G 中的最大导出匹配，M_X 为 X 部集中被 M 饱和的点集，M_Y 为 Y 部集中被 M 饱和的点集。

E_G( M_X，M_Y ) = M ，对于任意 R ⊆ M_X，有 N_G（R）≠ N_G（M_X）

（因为对于M_X/ R 中的任意一点，必然有 M_Y 中的一点与其匹配 y，而 y 不能与 R 中相连 )，

| N_G( R ) ∩ M_Y | = | N_M( R ) | = | R | < | M_X | = | N_G( M_X ) ∩ M_Y |，所以 || M || = | M_X | ≤ k。

再证明 || M || ≥ k，设 S 是具有  ([ a₁, a₂ ...... a_k ]) 具有性质 ρ 且基数为 k 的集合。

那么，对于 1 ≤ i ≤ k，有 N_G( S - a_i ) ≠ N_G( S ) ，可以推出 N_G（a_i）∉ ∪_j≠i N_G（aj），

取 b_i ∈ N_G（a_i）-∪_j≠i N_G（aj），那么 { a_ib_i | 1 ≤ i ≤ k } 是具有 k 条边的导出匹配。则 || M || ≥ k。