奇异值分解与图像压缩

本文是叙述对于矩阵进行奇异值分解（SVD分解的方法），后面有利用SVD分解对于图像压缩的应用，代码使用matlab语言。

SVD分解可以对于一个一般矩阵使用，将其分解为3个特殊的矩阵，公式如下：

其中，若M为一个m*n (m<n) 矩阵，则分解后的三个矩阵：

U为m*m酉矩阵，

Σ为m*n正定对角矩阵，

V*为V的共轭转置，是n*n酉矩阵。

注：酉矩阵是指其共轭转置与逆矩阵相同的矩阵。

如下图所示：

同特征值相似，奇异值也是从大到小排列，且减小特别快。实际上我们可以用前k个奇异值就能基本近似表示整个矩阵。

则可以得到如下的近似奇异值分解方法。

若原Σ的秩为r，则我们只取前k(k<r)个奇异值，如此分解后：

U为m*r矩阵，

Σ为r*r正定对角矩阵，

V*为r*n矩阵。

如下图所示：

可以看出，如此做以后，分解后的矩阵秩更小，但最大程度保留了原矩阵的特征。

我们也可以采用SVD分解的方法，完成图片压缩。

SVD分解的matlab实现：

[s v d]=svd(a);

直接使用svd函数。

下面是做图片压缩的matlab代码：

a=imread('lena.png');a=double(a);[s v d]=svd(a);re=s(:,1:10)*v(1:10,1:10)*d(:,1:10)';figure;imshow(mat2gray(re));imwrite(mat2gray(re),'lena1.jpg')re=s(:,1:50)*v(1:50,1:50)*d(:,1:50)';figure;imshow(mat2gray(re));imwrite(mat2gray(re),'lena2.jpg')re=s(:,1:100)*v(1:100,1:100)*d(:,1:100)';figure;imshow(mat2gray(re));imwrite(mat2gray(re),'lena3.jpg')re=s(:,1:300)*v(1:300,1:300)*d(:,1:300)';figure;imshow(mat2gray(re));imwrite(mat2gray(re),'lena4.jpg')

结果：

原图（512*512）：

k=10；

k=50；

k=300；