backtracking 算法讲解

Backtracking

backtracking

中文称做「回溯法」，穷举多维度数据的方法，可以想作是多维度的Exhaustive Search。

大意是：把多维度数据看做是是一个多维向量（solution vector），然后运用递回依序递回穷举各个维度的值，制作出所有可能的数据（solution space），并且在递回途中避免列举出不正确的数据。

 

1. backtrack ( [ v1 ,..., vn ] )     // [v1,...,vn]是多维度的向量
2. {
3.     /* 制作出了一组数据，并检验这组数据正不正确*/
4.     if  ( [ v1 ,..., vn ]  is  well - generated  )
5.     {
6.         if  ( [ v1 ,..., vn ]  is  a  solution  )  process solution ;
7.         return ;
8.     }
9.  
10.     /* 穷举这个维度的所有值，并递回到下一个维度*/
11.     for  (  x  =  possible  values  ​​of  vn + 1  )
12.         backtrack ( [ v1 ,..., vn ,  x ] );
13. }
14.  
15. call  backtrack ( [] );    //从第一个维度开始逐步穷举

撰写程式时，可用阵列来实作solution vector的概念。

 

1. int  solution [ MAX_DIMENSION ];     // solution vector，多维度的向量
2.  
3. void  backtrack ( int  dimension )
4. {
5.     /* 制作出了一组数据，并检验这组数据正不正确*/
6.     if  (  solution []  is  well - generated  )
7.     {
8.         check  and  record  solution ;
9.         return ;
10.     }
11.  
12.     /* 穷举这个维度的所有值，并递回到下一个维度*/
13.     for  (  x  =  each  value  of  current  dimension  )
14.     {
15.         solution [ dimension ] =  x ;
16.         backtrack (  dimension  +  1  );
17.     }
18. }
19.  
20. int  main ()
21. {
22.     backtrack ( 0 );    //从第一个维度开始逐步列举
23. }

另外，当我们所需的数据只有唯一一组时，可以让程式提早结束。

 

1. int  solution [ MAX_DIMENSION ];
2. bool  finished  =  false ;   //如果为true表示已经找到数据，可以结束。
3.  
4. void  backtrack ( int  dimension )
5. {
6.     if  (  solution []  is  well - generated  )
7.     {
8.         check  and  record  solution ;
9.         if  (  solution  is  found  )  finished  =  true ;   //找到数据了
10.         return ;
11.     }
12.  
13.     for  (  x  =  each  value  of  current  dimension  )
14.     {
15.         solution [ dimension ] =  x ;
16.         backtrack (  dimension  +  1  );
17.         if  ( finished )  return ;    //提早结束，跳出这个递回
18.     }
19. }

附赠一张图片。画了很久。

结合pruning

回溯法会在递回途中避免列举出不正确的数据，其意义其实就等同于搜寻树的pruning技术。

 

1. int  solution [ MAX_DIMENSION ];
2.  
3. void  backtrack ( int  dimension )
4. {
5.     /* pruning：在递回途中避免列举出不正确的数据*/
6.     if  (  solution []  will  NOT  be  a  solution  in  the future  )  return ;
7.  
8.     if  (  solution []  is  well - generated  )
9.     {
10.         check  and  record  solution ;
11.         return ;
12.     }
13.  
14.     for  (  x  =  each  value  of  current  dimension  )
15.     {
16.         solution [ dimension ] =  x ;
17.         backtrack (  dimension  +  1  );
18.     }
19. }

结合branch and bound

回溯法可以结合branching。

 

1. int  solution [ MAX_DIMENSION ];
2.  
3. void  backtrack ( int  dimension )
4. {
5.     if  (  solution []  is  well - generated  )
6.     {
7.         check  and  record  solution ;
8.         return ;
9.     }
10.  
11.     /* branch：制做适当的分支 */
12.     
13.     int  c [ MAX_CANDIDATE ];    // candidates for next dimension
14.     int  ncandidate ;          // candidate counter
15.  
16.     construct_candidates ( dimension ,  c ,  ncandidate );
17.  
18.     for  ( int  i = 0 ;  i  <  ncandidate ;  i ++)
19.     {
20.         solution [ dimension ] =  c [ i ];
21.         backtrack (  dimension  +  1  );
22.     }
23. }

回溯法可以结合bounding。

 

1. int  solution [ MAX_DIMENSION ];
2.  
3. void  backtrack ( int  dimension ,  int  cost )  //用一数值代表数据好坏
4. {
5.     /* bound：数据太糟了，不可能成为正确数据，不必递回下去。*/
6.     if  (  cost  is  worse  than  best_cost  )  return ;
7.  
8.     /* bound：数据够好了，可以成为正确数据，不必递回下去。*/
9.     if  (  solution []  is  well - generated  )
10.     {
11.         check  and  record  solution ;
12.         if  (  solution  is  found  )  best_cost  =  cost ;  //纪录cost
13.         return ;
14.     }
15.  
16.     for  (  x  =  each  value  of  current  dimension  )
17.     {
18.         solution [ dimension ] =  x ;
19.         backtrack (  dimension  +  1  ,  cost  + ( cost  of x ) );
20.     }
21. }

特色

backtracking的好处，是在递回过程中，能有效的避免列举出不正确的数据，省下很多时间。

另外还可以调整维度的顺序、每个维度中列举值的顺序。如果安排得宜，可以更快的找到数据。

这里是我找到的一些backtracking题目，不过我还没有验证它们是否都是backtracking问题。

UVa 140 165 193 222 259 291 301 399435 524 539 565 574 598 628 656 73210624 | 10186 10344 10364 10400 10419 10447 10501 10503 10513 10582 10605 10637

另外还有一些容易被误认成其他类型，实际上却可以用backtracking解决的题目。

UVa 193 129

Enumerate all n-tuples

Enumerate all n-tuples

列举重复排列。这里示范：列举出「数字1到10选择五次」全部可能的情形。

制作一个阵列，用来存放一组可能的排列（数据）。

 

1. int  solution [ 5 ];

例如solution[0] = 4表示第一个抓到的数字是4，solution[4] = 9表示第五个抓到的数字是9。阵列中不同的格子，就是solution vector当中不同的维度。

递回程式码设计成这样：

 

1. int  solution [ 5 ];     //用来存放一组可能的数据
2.  
3. void  print_solution ()    //印出一组可能的数据
4. {
5.     for  ( int  i = 0 ;  i < 5 ;  i ++)
6.         cout  <<  i  <<  ' ' ;
7.     cout  <<  endl ;
8. }
9.  
10. void  backtrack ( int  n )    // n为现在正在列举的维度
11. {
12.     // it's a solution
13.     if  ( n  ==  5 )
14.     {
15.         print_solution ();
16.         return ;
17.     }
18.     
19.     // 逐步列举数字1到10，并且各自递回下去，列举之后的维度
20.     solution [ n ] =  1 ;
21.     backtrack ( n + 1 );
22.  
23.     solution [ n ] =  2 ;
24.     backtrack ( n + 1 );
25.  
26.     ......
27.  
28.     solution [ n ] =  10 ;
29.     backtrack ( n + 1 );
30. }
31.  
32. int  main ()
33. {
34.     backtrack ( 0 );
35. }

输出结果会照字典顺序排列。附送一张简图：

Permutation

Permutation

permutation是「排列」的意思，便是数学课本中「排列组合」的排列。但是这里并不是要计算排列有多少种，而是实际列举出所有的排列：

现在有一个集合，里面有1到n的数字，列出所有数字的排列，同样的排列不能重复列出来。例如{1,2,3}所有的排列就是{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2 }、{3,2,1}。

permutation的问题可以使用backtracking的技术来解决！如果不懂backtracking也没关系，暂且继续看下去吧。细嚼慢咽，一定可以融会贯通的！

依序穷举每个位置，针对每个位置，试着填入各种数字

一般来说，permutation的程式码都会长成这样的格式：

 

1. int  solution [ MAX ];   //用来存放一组可能的答案
2. bool  used [ MAX ];      //纪录数字是否使用过，用过为true
3.  
4. void  permutation ( int  k ,  int  n )
5. {
6.     if  ( k  ==  n )  // it's a solution
7.     {
8.         for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
9.             cout  <<  solution [ i ] <<  " " ;
10.         cout  <<  endl ;
11.     }
12.     else
13.     {
14.         for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)  //试着将第k格填入各种数字
15.             if  (! used [ i ])
16.             {
17.                 used [ i ] =  true ;      //纪录用过的数字
18.  
19.                 solution [ k ] =  i ;     //将第k格填入数字k
20.                 permutation ( k + 1 ,  n );     // iterate next position
21.  
22.                 used [ i ] =  false ;     //回收用完的数字
23.             }
24.     }
25. }
26.  
27. int  main ()
28. {
29.     for  ( int  i = 0 ;  i  <  MAX ;  i ++)  // initialization
30.         used [ i ] =  false ;
31.  
32.     permutation ( 0 ,  10 );  //印出0~9，一共10个数字的所有排列
33. }

permutation的问题都可以使用这段程式码来解决。而且这支程式，是以字典顺序来列举出所有排列。所以它真的很有用，不妨参考看看。

permutation是一种简单又容易理解的问题。「Programming Challenges」这本书在教导backtracking的概念时，就用了permutation来当做入门的例子。如果有人想要教导backtracking的程式码要怎么撰写，以permutation当做范例会是个不错的选择。

依序穷举每个数字，针对每个数字，试着填入各个位置

另外还有一种作法是生做这个样​​子的：

 

1. int  solution [ MAX ];   //用来存放一组可能的答案
2. bool  filled [ MAX ];    //纪录各个位置是否填过数字，填过为true
3.  
4. void  permutation ( int  v ,  int  n )
5. {
6.     if  ( v  ==  n )  // it's a solution
7.     {
8.         for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
9.             cout  <<  solution [ i ] <<  " " ;
10.         cout  <<  endl ;
11.     }
12.     else
13.     {
14.         for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)  //试着将数字v填入各个位置
15.             if  (! filled [ i ])
16.             {
17.                 filled [ i ] =  true ;    //纪录填过的位置
18.  
19.                 solution [ i ] =  v ;     //将数字v填入第i格
20.                 permutation ( v + 1 ,  n );     // iterate next position
21.  
22.                 filled [ i ] =  false ;   //回收位置
23.             }
24.     }
25. }
26.  
27. int  main ()
28. {
29.     for  ( int  i = 0 ;  i < MAX ;  i ++)    // initialization
30.         filled [ i ] =  false ;
31.  
32.     permutation ( 0 ,  10 );  //印出0~9，一共10个数字的所有排列
33. }

这也是一个不错的方法，列出来提供大家参考。多接触各式各样的方法，能激发一些创意呢！

为了讲解方便，以下的文章以一开始提到的方法当作基准。

字串排列

有个常见的问题是：列出字串abc的所有排列，要依照字典顺序列出。其实这就跟刚才介绍的东西大同小异，只要稍加修改程式码即可。

 

1. char  s [ 3 ] = { 'a', 'b', 'c' };     //字串，需要先由小到大排序过
2. char  solution [ 3 ];    //用来存放一组可能的答案
3. bool  used [ 3 ];        //纪录该字母是否使用过，用过为true
4.  
5. void  permutation ( int  k ,  int  n )
6. {
7.     if  ( k  ==  n )  // it's a solution
8.     {
9.         for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
10.             cout  <<  solution [ i ];
11.         cout  <<  endl ;
12.     }
13.     else
14.     {
15.         // 针对solution[i]这个位置，列举所有字母，并各自递回
16.         for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
17.             if  (! used [ i ])
18.             {
19.                 used [ i ] =  true ;
20.  
21.                 solution [ k ] =  s [ i ];  //填入字母
22.                 permutation ( k + 1 ,  n );
23.  
24.                 used [ i ] =  false ;
25.             }
26.     }
27. }

程式码改写成这样会更清楚：

 

1. char  s [ 3 ] = { 'a', 'b', 'c' };     //字串，需要先由小到大排序过
2. char  solution [ 3 ];    //用来存放一组可能的答案
3. bool  used [ 3 ];        //纪录该字母是否使用过，用过为true
4.  
5. void  permutation ( int  k ,  int  n )
6. {
7.     // it's a solution
8.     if  ( k  ==  n )
9.     {
10.         for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
11.             cout  <<  solution [ i ];
12.         cout  <<  endl ;
13.         return ;                  // if-else改成return
14.     }
15.     
16.     // 针对solution[i]这个位置，列举所有字母，并各自递回
17.     for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
18.         if  (! used [ i ])
19.         {
20.             used [ i ] =  true ;
21.  
22.             solution [ k ] =  s [ i ];  //填入字母
23.             permutation ( k + 1 ,  n );
24.  
25.             used [ i ] =  false ;
26.         }
27. }

避免重复排列

若是字串排列的问题改成：列出abb的所有排列，依照字典顺序列出。答案应该为abb、aba、baa。不过使用刚刚的程式码的话，答案却会变成这样：

abbabbbabbbababbba

这跟预期的不一样。会有这种结果，是由于之前的程式有个基本假设：字串中的每个字母都不一样。尽管出现了一样的字母，但是程式还是把它当作是不一样的字母，依旧把所有可能的排列都列出，也就是现在的结果──有一些排列重复出现了。

要解决问题，在列举某一个位置的字母时，就必须避免一直填入一样的字母。如此就可以避免产生重复的排列。

 

1. char  s [ 3 ] = { 'a', 'b', 'b' };     //字串，需要先由小到大排序过
2. char  solution [ 3 ];
3. bool  used [ 3 ];
4.  
5. void  permutation ( int  k ,  int  n )
6. {
7.     if  ( k  ==  n )
8.     {
9.         for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
10.             cout  <<  solution [ i ];
11.         cout  <<  endl ;
12.         return ;
13.     }
14.     
15.     char  last_letter  =  '\0' ;
16.     for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
17.         if  (! used [ i ])
18.             if  ( s [ i ] !=  last_letter )     //避免列举一样的字母
19.             {
20.                 last_letter  =  s [ i ];      //纪录刚才使用过的字母
21.                 used [ i ] =  true ;
22.  
23.                 solution [ k ] =  s [ i ];
24.                 permutation ( k + 1 ,  n );
25.  
26.                 used [ i ] =  false ;
27.             }
28. }

因为输入的字串由小到大排序过，字母会依照顺序出现，所以只要检查上一个使用过的字母，判断一不一样之后，就可以避免列举一样的字母了。

程式码也可以改写成这种风格：

 

1. char  s [ 3 ] = { 'a', 'b', 'b' };     //字串，需要先由小到大排序过
2. char  solution [ 3 ];
3. bool  used [ 3 ];
4.  
5. void  permutation ( int  k ,  int  n )
6. {
7.     if  ( k  ==  n )
8.     {
9.         for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
10.             cout  <<  solution [ i ];
11.         cout  <<  endl ;
12.         return ;
13.     }
14.     
15.     char  last_letter  =  '\0' ;
16.     for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
17.     {                            // if not改成continue
18.         if  ( used [ i ])  continue ;
19.         if  ( s [ i ] ==  last_letter )  continue ;   //避免列举一样的字母
20.  
21.         last_letter  =  s [ i ];      //纪录刚才使用过的字母
22.         used [ i ] =  true ;
23.  
24.         solution [ k ] =  s [ i ];
25.         permutation ( k + 1 ,  n );
26.  
27.         used [ i ] =  false ;
28.     }
29. }

另一种资料结构

如果字母重覆出现次数很多次的话，可以用一个128格的阵列，每一格个别存入128个ASCII字元的出现次数。程式码会简化成这样：

 

1. int  array [ 128 ];  //个别存入128个ASCII字元的出现次数
2. char  solution [ MAX ];
3.  
4. void  permutation ( int  k ,  int  n )
5. {
6.     if  ( k  ==  n )
7.     {
8.         for  ( int  i = 0 ;  i < n ;  i ++)
9.             cout  <<  solution [ i ];
10.         cout  <<  endl ;
11.         return ;
12.     }
13.     
14.     for  ( int  i = 0 ;  i < 128 ;  i ++)    //列举每一个字母
15.         if  ( array [ i ] >  0 )        //还有字母剩下来，就要列举
16.         {
17.             array [ i ]--;          //用掉了一个字母
18.             
19.             solution [ k ] =  i ;     // char变数可以直接存入ascii数值
20.             permutation ( k + 1 ,  n );
21.  
22.             array [ i ]++;          //回收了一个字母
23.         }
24. }

这里枚举一些permutation的题目。

UVa 195 441 10098 10063 10776

Next Permutation

Next Permutation

问题：给一个由英文字母组成的字串。现在以这个字串当中的所有字母，依照字典顺序列出所有排列，请找出这个字串所在位置的下一个字串是什么？

有一个很简单的方法。我们先制作字母卡，一张卡上有一个英文字母。然后用这些字母卡排出字串。要找出下一个排列，依照人类本能，会先将字串最右边的字母卡，先拿一些起来，看看能不能利用手上的字母卡，重新拼成下一个字串；若是不行的话，就再多拿一点字母卡起来，看看能不能拼成下一个字串。这是很直观的想法。详细的办法就不多说了。【待补程式码】

若你想出了解题的演算法，可以继续往下看。这里提供一个不错的资料结构：令一个 int 阵列 array[] 的第x 格所存的值，是ASCII码 'a'+x 这个字母于字串中出现的个数。用这个资料结构来纪录手上的字母卡有哪些，是最好不过的了，只要加加减减就可以了！打个简单的比喻，若是题目给定的字串是aabbc，那么将所有字母卡都拿在手上时， array[0] 就存入 2、array[1] 就存入2、array[2] 就存入1。当然，一开始的时候就将所有卡片排成aabbc，所以阵列里面的值都是 0；随着卡片越拿越多起来，阵列的值也就越加越多了。用这个资料结构写起程式来会相当的方便！它可以省去排序的麻烦。

有些比较机车的题目，会提到说有些字母卡可以互相代替着用，例如p可以转一下变成b，w可以转一下变成m之类的。这个时候就得小心的纪录可用的字母卡张数了。有个可行的办法是：若一张字母卡有多种用途，像是p和b通用──当多了一张p或b的字母卡可用时，那么就在 array['p'-'a' ] 和 array['b'-'a'] 的地方同时加一；当少了一张p或b的字母卡可用时，那么就在 array['p'-'a'] 和array['b '-'a'] 的地方同时减一。仔细想想看为什么可行吧！这方法很不错吧？ :p

程式码就留给大家自行创造吧！这里是题目。

UVa 146 845

Enumerate all subsets

Enumerate all subsets

列举子集合。这里示范：列举出{0,1,2,3,4}的所有子集合。

该如何列举呢？先观察平时我们计算子集合总数的方法。{0,1,2,3,4}所有子集合的个数共有2^5个：0可取可不取，有两种情形、1可取可不取，有两种情形、...、4可取可不取，有两种情形。根据乘法原理，总共会有2*2*2*2*2 = 2^5种情形。

backtracking列举数据的概念等同于乘法原理。首先我们要先建立一个阵列，用来当作是一个集合。

 

1. bool  solution [ 10 ];

其中solution[i] = true时表示这个集合拥有第i个元素（此概念等同于本站文件「Set: 另一种资料结构」）。阵列中不同的格子，就是solution vector当中不同的维度。

递回程式码设计成这样：

 

1. bool  solution [ 5 ];    //用来存放一组可能的数据
2.  
3. void  print_solution ()    //印出一组可能的数据
4. {
5.     for  ( int  i = 0 ;  i < 5 ;  i ++)
6.         if  ( solution [ i ])
7.             cout  <<  i  <<  ' ' ;
8.     cout  <<  endl ;
9. }
10.  
11. void  backtrack ( int  n )    // n为现在正在列举的数值（也是维度）
12. {
13.     // it's a solution
14.     if  ( n  ==  5 )
15.     {
16.         print_solution ();
17.         return ;
18.     }
19.     
20.     // 取数字n，然后继续列举之后的位置
21.     solution [ n ] =  true ;
22.     backtrack ( n + 1 );
23.  
24.     // 不取数字n，然后继续列举之后的位置
25.     solution [ n ] =  false ;
26.     backtrack ( n + 1 );
27. }
28.  
29. int  main ()
30. {
31.     backtrack ( 0 );
32. }

输出结果会照字典顺序排列。附送一张简图：

另一种资料结构

这里改用int阵列来当作set的资料结构（本站文件「Set: 简单的资料结构」）。尽管solution vector已面目全非、消灭殆尽，但是该递回程式码仍具有backtracking的精神。

 

1. int  subset [ 5 ];   //用来存放一组可能的答案
2.  
3. void  backtrack ( int  n ,  int  N )     // n是现在正在列举的数值（也是维度）
4. {                                // N用来记录子集合的元素个数
5.     // it's a solution
6.     if  ( n  ==  5 )
7.     {
8.         // print solution
9.         // 集合里面有N个数字
10.         for  ( int  i = 0 ;  i  <  N ;  i ++)
11.             cout  <<  set [ i ] <<  " " ;
12.         cout  <<  endl ;
13.         return ;
14.     }
15.  
16.     // 加入n 这个数字，然后继续列举后面的数字
17.     subset [ N ] =  n ;
18.     backtrack ( n + 1 ,  N + 1 );
19.  
20.     // 不取n 这个数字，然后继续列举后面的数字
21.     backtrack ( n + 1 ,  N );
22. }
23.  
24. int  main ()
25. {
26.     backtrack ( 0 ,  0 );
27. }

任意集合的所有子集合

 

1. int  array [ 5 ] = { 6 ,  7 ,  13 ,  4 ,  2 };     //可自行调整列举顺序
2. int  subset [ 5 ];   //用来存放一组可能的数据
3.  
4. void  backtrack ( int  n ,  int  N )     // n是现在正在列举的维度
5. {                                // N用来记录子集合的元素个数
6.     // it's a solution
7.     if  ( n  ==  5 )
8.     {
9.         print_solution ();
10.         return ;
11.     }
12.  
13.     // 加入array[n] 这个数字，然后继续列举后面的数字
14.     subset [ N ] =  array [ n ];
15.     backtrack ( n + 1 ,  N + 1 );
16.  
17.     // 不取array[n] 这个数字，然后继续列举后面的数字
18.     backtrack ( n + 1 ,  N );
19. }
20.  
21. int  main ()
22. {
23.     backtrack ( 0 ,  0 );
24. }

另一种穷举法

这个方法并非backtracking，但也是一种很有特色的穷举方式。请比照程式码和附图，自行揣摩一下。

 

1. int  array [ 5 ] = { 6 ,  7 ,  13 ,  4 ,  2 };     //可自行调整列举顺序
2. int  subset [ 5 ];   //用来存放一组可能的数据
3.  
4. void  recursion ( int  n ,  int  N )     // n是现在正在列举的数值
5. {                                // N用来记录子集合的元素个数
6.     print_solution ();    //目前凑出来的集合
7.  
8.     for  ( int  i = n ;  i < 5 ; ++ i )
9.     {
10.         // 加入 array[i] 这个数字
11.         subset [ N ] =  array [ i ];
12.  
13.         // 然后继续列举后面的数字
14.         recursion ( i + 1 ,  N + 1 );
15.     }
16. }
17.  
18. int  main ()
19. {
20.     recursion ( 0 ,  0 );
21. }

将阵列先排序好，输出结果就会照字典顺序排列。简图：

8 Queen Problem

8 Queen Problem

问题：在8x8的西洋棋棋盘上摆放八只皇后，让他们恰好无法互相攻击对方。

一个非常简单的想法：每一格都有「放」和「不放」两种选择，穷举所有可能，并避免列举出皇后互相攻击的情形。设计solution vector为8x8的bool阵列，代表一个8x8的棋盘盘面情形。例如solution[0][0] = true表示(0,0)这个位置有放置皇后。

 

1. bool  solution [ 8 ][ 8 ];
2.  
3. void  backtrack ( int  x ,  int  y )
4. {
5.     if  ( y  ==  8 )  x ++,  y  =  0 ;  //换到下一排格子
6.     
7.     // it's a solution
8.     if  ( x  ==  8 )
9.     {
10.         print_solution ();
11.         return ;
12.     }
13.     
14.     // 放置皇后
15.     solution [ x ][ y ] =  true ;
16.     backtrack ( x ,  y + 1 );
17.     
18.     // 不放置皇后
19.     solution [ x ][ y ] =  false ;
20.     backtrack ( x ,  y + 1 );
21. }

接着要避免列举出不可能出现的答案：任一直线、横线、左右斜线上面只能有一只皇后。分别建立四个bool阵列，纪录皇后在各条线上摆放的情形，这个手法很常见，请见程式码。

 

1. bool  solution [ 8 ][ 8 ];
2. bool  mx [ 8 ],  my [ 8 ],  md1 [ 15 ],  md2 [ 15 ];     //初始值都是false
3.  
4. void  backtrack ( int  x ,  int  y )
5. {
6.     if  ( y  ==  8 )  x ++,  y  =  0 ;  //换到下一排格子
7.     
8.     // it's a solution
9.     if  ( x  ==  8 )
10.     {
11.         print_solution ();
12.         return ;
13.     }
14.     
15.     // 放置皇后
16.     int  d1  = ( x + y ) %  15 ,  d2  = ( x - y + 15 ) %  15;
17.     
18.     if  (! mx [ x ] && ! ​​my [ y ] && ! ​​md1 [ d1 ] && ! ​​md2 [d2 ])
19.     {
20.         // 这只皇后占据了四条线，记得标记起来。
21.         mx [ x ] =  my [ y ] =  md1 [ d1 ] =  md2 [ d2 ] = true ;
22.         
23.         solution [ x ][ y ] =  true ;
24.         backtrack ( x ,  y + 1 );
25.  
26.         // 递回结束，回复到原本的样子，要记得取消标记。
27.         mx [ x ] =  my [ y ] =  md1 [ d1 ] =  md2 [ d2 ] = false ;
28.     }
29.     
30.     // 不放置皇后
31.     solution [ x ][ y ] =  false ;
32.     backtrack ( x ,  y + 1 );
33. }

改进

由于一条线必须刚好摆放一只皇后，故可以以线为单位来递回穷举。重新设计solution vector为一条一维int阵列，solution[0] = 5表示第零个直行上的皇后，摆在第五个位置。

 

1. int  solution [ 8 ];
2.  
3. void  backtrack ( int  x )  //每次都换一排格子
4. {
5.     // it's a solution
6.     if  ( x  ==  8 )
7.     {
8.         print_solution ();
9.         return ;
10.     }
11.     
12.     // 分别放置皇后在每一格，并各自递回下去。
13.     solution [ x ] =  0 ;
14.     backtrack ( x + 1 );
15.     
16.     solution [ x ] =  1 ;
17.     backtrack ( x + 1 );
18.     
19.     ......
20.     
21.     solution [ x ] =  7 ;
22.     backtrack ( x + 1 );
23. }

缩成回圈是一定要的啦！

 

1. int  solution [ 8 ];
2.  
3. void  backtrack ( int  x )    //每次都换一排格子
4. {
5.     // it's a solution
6.     if  ( x  ==  8 )
7.     {
8.         print_solution ();
9.         return ;
10.     }
11.     
12.     // 分别放置皇后在每一格，并各自递回下去。
13.     for  ( int  y = 0 ;  y < 8 ; ++ y )
14.     {
15.         solution [ x ] =  y ;
16.         backtrack ( x + 1 );
17.     }
18. }

接着要避免列举出不可能出现的答案。

 

1. int  solution [ 8 ];
2. bool  my [ 8 ],  md1 [ 15 ],  md2 [ 15 ];    //初始值都是false
3.                                 // x这条线可以不用检查了
4.  
5. void  backtrack ( int  x )    //每次都换一排格子
6. {
7.     // it's a solution
8.     if  ( x  ==  8 )
9.     {
10.         print_solution ();
11.         return ;
12.     }
13.     
14.     // 分别放置皇后在每一格，并各自递回下去。
15.     for  ( int  y = 0 ;  y < 8 ; ++ y )
16.     {
17.         int  d1  = ( x + y ) %  15 ,  d2  = ( x - y + 15 ) % 15 ;
18.         
19.         if  (! my [ y ] && ! ​​md1 [ d1 ] && ! ​​md2 [ d2 ])
20.         {
21.             // 这只皇后占据了四条线，记得标记起来。
22.             my [ y ] =  md1 [ d1 ] =  md2 [ d2 ] =  true ;
23.             
24.             solution [ x ] =  y ;
25.             backtrack ( x + 1 );
26.             
27.             // 递回结束，回复到原本的样子，要记得取消标记。
28.             my [ y ] =  md1 [ d1 ] =  md2 [ d2 ] =  false ;
29.         }
30.     }
31. }

改进

8 Queen Problem的答案是上下、左右、对角线对称的。排除对称的情形，可以节省列举的时间。这里不加赘述。

另一种左右斜线判断方式

比用阵列纪录还麻烦。自行斟酌。

 

1. void  backtrack ( int  x )    //每次都换一排格子
2. {
3.     for  ( int  i = 0 ;  i < x ; ++ i )
4.         if  ( abs ( x  -  i ) ==  abs ( solution [ x ] - solution [ i ]))
5.             return ;
6.  
7.     ......
8. }

这里是练习题。

UVa 167 750 10513 639

Sudoku

数独

解决方法和8 Queen Problem十分相似。设计solution vector为二维的int阵列，solution[0][0] = 2表示(0,0)的位置填了数字2。

 

1. int  solution [ 9 ][ 9 ];
2.  
3. void  backtrack ( int  x ,  int  y )
4. {
5.     if  ( y  ==  9 )  x ++,  y  =  0 ;  //换到下一排格子
6.     
7.     // it's a solution
8.     if  ( x  ==  9 )
9.     {
10.         print_solution ();
11.         return ;
12.     }
13.  
14.     // 分别填入一到九的数字，并各自递回下去。
15.     solution [ x ][ y ] =  1 ;
16.     backtrack ( x ,  y + 1 );
17.     
18.     solution [ x ][ y ] =  2 ;
19.     backtrack ( x ,  y + 1 );
20.     
21.     ......
22.     
23.     solution [ x ][ y ] =  9 ;
24.     backtrack ( x ,  y + 1 );
25. }

缩成回圈是一定要的啦！

 

1. int  solution [ 9 ][ 9 ];
2.  
3. void  backtrack ( int  x ,  int  y )
4. {
5.     if  ( y  ==  9 )  x ++,  y  =  0 ;  //换到下一排格子
6.     
7.     // it's a solution
8.     if  ( x  ==  9 )
9.     {
10.         print_solution ();
11.         return ;
12.     }
13.     
14.     // 分别填入一到九的数字，并各自递回下去。
15.     for  ( int  n = 1 ;  n <= 9 ; ++ n )
16.     {
17.         solution [ x ][ y ] =  n ;
18.         backtrack ( x ,  y + 1 );
19.     }
20. }

接着要避免列举出不可能出现的答案：直线、横线、3x3方格内不能有重复的数字。分别建立三个bool阵列，纪录数字在各地方使用的情形，这个手法很常见，请见程式码。

 

1. int  solution [ 9 ][ 9 ];
2. bool  mx [ 9 ][ 10 ],  my [ 9 ][ 10 ],  mg [ 3 ][ 3 ][ 10];     //初始值为false
3.  
4. void  backtrack ( int  x ,  int  y )
5. {
6.     if  ( y  ==  9 )  x ++,  y  =  0 ;  //换到下一排格子
7.     
8.     // it's a solution
9.     if  ( x  ==  9 )
10.     {
11.         print_solution ();
12.         return ;
13.     }
14.     
15.     // 分别填入一到九的数字，并各自递回下去。
16.     for  ( int  n = 1 ;  n <= 9 ; ++ n )
17.         if  (! mx [ x ][ n ] && ! ​​my [ y ][ n ] && ! ​​mg [ x /3 ][ y / 3 ][ n ])
18.         {
19.             mx [ x ][ n ] =  my [ y ][ n ] =  mg [ x / 3 ][ y/ 3 ][ n ] =  true ;
20.  
21.             solution [ x ][ y ] =  n ;
22.             backtrack ( x ,  y + 1 );
23.             
24.             mx [ x ][ n ] =  my [ y ][ n ] =  mg [ x / 3 ][ y/ 3 ][ n ] =  false ;
25.         }
26. }

再加上原本格子里就有数字的判断。

 

1. int  board [ 9 ][ 9 ];     //没有值时为0
2.  
3. int  solution [ 9 ][ 9 ];
4. bool  mx [ 9 ][ 10 ],  my [ 9 ][ 10 ],  mg [ 3 ][ 3 ][ 10];     //初始值为false
5.  
6. void  initialize ()
7. {
8.     for  ( int  x = 0 ;  x < 9 ; ++ x )
9.         for  ( int  y = 0 ;  y < 9 ; ++ y )
10.             if  ( board [ x ][ y ])
11.             {
12.                 int  n  =  board [ x ][ y ];
13.                 mx [ x ][ n ] =  my [ y ][ n ] =  mg [ x / 3][ y / 3 ][ n ] =  true ;
14.                 solution [ x ][ y ] =  board [ x ][ y ];
15.             }
16. }
17.  
18. void  backtrack ( int  x ,  int  y )
19. {
20.     if  ( y  ==  9 )  x ++,  y  =  0 ;  //换到下一排格子
21.     
22.     // it's a solution
23.     if  ( x  ==  9 )
24.     {
25.         print_solution ();
26.         return ;
27.     }
28.     
29.     // 判断格子里有没有先填入值
30.     if  ( board [ x ][ y ])
31.     {
32.         // solution vector和bool阵列已经在initialize()填写过了
33.         backtrack ( x ,  y + 1 );
34.         return ;
35.     }
36.     
37.     // 分别填入一到九的数字，并各自递回下去。
38.     for  ( int  n = 1 ;  n <= 9 ; ++ n )
39.         if  (! mx [ x ][ n ] && ! ​​my [ y ][ n ] && ! ​​mg [ x /3 ][ y / 3 ][ n ])
40.         {
41.             mx [ x ][ n ] =  my [ y ][ n ] =  mg [ x / 3 ][ y/ 3 ][ n ] =  true ;
42.  
43.             solution [ x ][ y ] =  n ;
44.             backtrack ( x ,  y + 1 );
45.             
46.             mx [ x ][ n ] =  my [ y ][ n ] =  mg [ x / 3 ][ y/ 3 ][ n ] =  false ;
47.         }
48. }

这里是练习题。

UVa 989 10893 10957

0/1 Knapsack Problem

0/1背包问题

问题：将一群各式各样的物品尽量塞进背包里，令背包里物品总价值最高。

这个问题当数值范围不大时，可用Dynamic Programming快速的解决掉。可以参考上面几篇文章。

一个简单的想法：每个物品都有「要」和「不要」两种选择，穷举所有可能，并避免列举出背包超载的情形。设计solution vector为一个一维bool阵列，solution[0] = true表示第零个物品有放进背包，即是set的概念（本站文件「Set: 另一种资料结构」）。

 

1. bool  solution [ 10 ];   //十个物品
2.  
3. int  weight [ 10 ] = { 4 ,  54 ,  1 , ...,  32 };    //十个物品分别的重量
4. int  cost [ 10 ] = { 3 ,  3 ,  11 , ...,  23 };      //十个物品分别的价值
5.  
6. const  int  maxW  =  100 ;    //背包承载上限
7. int  maxC  =  0 ;            //出现过的最高总值
8.  
9. void  backtrack ( int  n ,  int  w ,  int  c )
10. {
11.     // it's a solution
12.     if  ( n  ==  10 )
13.     {
14.         if  ( c  >  maxC )    //纪录总值 ​​最高的
15.         {
16.             maxC  =  c ;
17.             store_solution ();
18.         }
19.         return ;
20.     }
21.  
22.     // 放进背包
23.     if  ( w  +  weight [ n ] <  maxW )    //检查背包超载
24.     {
25.         solution [ n ] =  true ;
26.         backtrack ( n + 1 ,  w  +  weight [ n ],  c  +  cost[ n ]);
27.     }
28.  
29.     // 不放进背包
30.     solution [ n ] =  false ;
31.     backtrack ( n + 1 ,  w ,  c );
32. }
33.  
34.  
35. bool  answer [ 10 ];     //正确答案
36.  
37. void  store_solution ()
38. {
39.     for  ( int  i = 0 ;  i < 10 ; ++ i )
40.         answer [ i ] =  solution [ i ];
41. }

检查背包超载的部分可以修改成更美观的样子。

 

1. void  backtrack ( int  n ,  int  w ,  int  c )
2. {
3.     if  ( w  >  maxW )  return ;    //背包超载
4.  
5.     // it's a solution
6.     if  ( n  ==  10 )
7.     {
8.         if  ( c  >  maxC )    //纪录总值 ​​最高的
9.         {
10.             maxC  =  c ;
11.             store_solution ();
12.         }
13.         return ;
14.     }
15.  
16.     // 放进背包
17.     solution [ n ] =  true ;
18.     backtrack ( n + 1 ,  w  +  weight [ n ],  c  +  cost [ n]);
19.  
20.     // 不放进背包
21.     solution [ n ] =  false ;
22.     backtrack ( n + 1 ,  w ,  c );
23. }

Pruning

各位可尝试将物品重量排序，再执行backtracking程式码，看看效率有何不同。

Inclusion-Exclusion Principle

排容原理

类似于列举所有子集合（本站文件「Backtracking ─Enumerate All Subsets」），但是每个子集合有正负号之别──奇数个集合的交集为正号、偶数个集合的交集为负号。

举例：求出1到100当中可被3或5或8整除的整数，且除数均两两互质。

 

1. int  array [ 3 ] = { 3 ,  5 ,  8 };
2.  
3. // 排容，weight为正负号，divisor为各种可能的除数
4. int  backtrack ( int  n ,  int  weight ,  int  divisor )
5. {
6.     // it's a solution
7.     if  ( n  ==  3 )  return  weight  * ( 100  /  divisor );
8.     
9.     int  value  =  0 ;
10.     
11.     /* 不选。正负号维持不变，除数维持不变。*/
12.     
13.     // solution[n] = false;
14.     value  +=  backtrack ( n + 1 ,  weight ,  divisor );
15.  
16.     /* 选。须变号，并逐步累计除数 */
17.     
18.     // solution[n] = true;
19.     // 因逐步累计除数，故不需要具体的solution vector记录选到的数字
20.     value  +=  backtrack ( n + 1 , - weight ,  divisor *array [ n ]);
21.     
22.     return  value ;
23. }
24.  
25. int  main ()
26. {
27.     cout  <<  "answer: "  <<  backtrack ( 0 , + 1 ,  1 ) << endl ;
28.     return  0 ;
29. }

考虑数字之间不互质的一般情形：

 

1. int  array [ 5 ] = { 3 ,  5 ,  6 ,  7 ,  9 };
2.  
3. // 最大公因数
4. int  gcd ( int  a ,  int  b ) {
5.     return  b  ?  gcd ( b ,  a % b ) :  a ;
6. }
7.  
8. // 最小公倍数
9. int  lcm ( int  a ,  int  b ) {
10.     return  a  /  gcd ( a ,  b ) *  b ;
11. }
12.  
13. // 精简过后的排容程式码，w为正负号，d为各种可能的除数
14. int  backtrack ( int  n ,  int  w ,  int  d )
15. {
16.     if  ( n  ==  5 )  return  w  * ( 100  /  d );
17.     return  backtrack ( n + 1 ,  w ,  d ) +  backtrack ( n +1 , - w ,  lcm ( d , array [ n ]));
18. }

另一种实作方法

列举所有子集合有两种穷举方法，排容原理亦有两种对应的实作方法。此方法并非backtracking，故不赘述。

 

1. int  array [ 5 ] = { 3 ,  5 ,  6 ,  7 ,  9 };
2.  
3. int  recursion ( int  n ,  int  d )  // d为各种可能的除数
4. {
5.     int  value  =  0 ;
6.     value  +=  100  /  d ;    //目前凑出来的集合
7.     
8.     // 继续列举之后的数字，记得变号
9.     for  ( int  i = n ;  i < 5 ; ++ i )
10.     {
11.         int  next_divisor  =  lcm ( d ,  array [ i ]);
12.         value  -=  recursion ( i + 1 ,  next_divisor );
13.     }
14.  
15.     return  value ;
16. }
17.  
18. int  main ()
19. {
20.     cout  <<  "answer: "  <<  recursion ( 0 ,  1 ) <<  endl ;
21.     return  0 ;
22. }

UVa 10325