算法导论第15章 动态规划-矩阵链乘法
来源:互联网 发布:win10引导ubuntu启动 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 15:02
前言:今天接着学习动态规划算法,学习如何用动态规划来分析解决矩阵链乘问题。首先回顾一下矩阵乘法运算法,并给出C++语言实现过程。然后采用动态规划算法分析矩阵链乘问题并给出C语言实现过程。
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 #define A_ROWS 3 4 #define A_COLUMNS 2 5 #define B_ROWS 2 6 #define B_COLUMNS 3 7 void matrix_multiply(int A[A_ROWS][A_COLUMNS],int B[B_ROWS][B_COLUMNS],int C[A_ROWS][B_COLUMNS]); 8 int main() 9 {10 int A[A_ROWS][A_COLUMNS] = {1,0,11 1,2,12 1,1};13 int B[B_ROWS][B_COLUMNS] = {1,1,2,14 2,1,2};15 int C[A_ROWS][B_COLUMNS] = {0};16 matrix_multiply(A,B,C);17 for(int i=0;i<A_ROWS;i++)18 {19 for(int j=0;j<B_COLUMNS;j++)20 cout<<C[i][j]<<" ";21 cout<<endl;22 }23 return 0;24 }25 void matrix_multiply(int A[A_ROWS][A_COLUMNS],int B[B_ROWS][B_COLUMNS],int C[A_ROWS][B_COLUMNS])26 {27 if(A_COLUMNS != B_ROWS)28 cout<<"error: incompatible dimensions."<<endl;29 else30 {31 int i,j,k;32 for(i=0;i<A_ROWS;i++)33 for(j=0;j<B_COLUMNS;j++)34 {35 C[i][j] = 0;36 for(k=0;k<A_COLUMNS;k++)37 C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]; //将A的每一行的每一列与B的每一列的每一行的乘积求和38 }39 }40 }
程序测试结果如下所示:
2、矩阵链乘问题描述
给定n个矩阵构成的一个链<A1,A2,A3,.......An>,其中i=1,2,...n,矩阵A的维数为pi-1pi,对乘积 A1A2...An 以一种最小化标量乘法次数的方式进行加全部括号。
注意:在矩阵链乘问题中,实际上并没有把矩阵相乘,目的是确定一个具有最小代价的矩阵相乘顺序。找出这样一个结合顺序使得相乘的代价最低。
3、动态规划分析过程
1)最优加全部括号的结构
动态规划第一步是寻找一个最优的子结构。假设现在要计算AiAi+1....Aj的值,计算Ai...j过程当中肯定会存在某个k值(i<=k<j)将Ai...j分成两部分,使得Ai...j的计算量最小。分成两个子问题Ai...k和Ak+1...j,需要继续递归寻找这两个子问题的最优解。
有分析可以到最优子结构为:假设AiAi+1....Aj的一个最优加全括号把乘积在Ak和Ak+1之间分开,则Ai..k和Ak+1..j也都是最优加全括号的。
2)一个递归解
设m[i,j]为计算机矩阵Ai...j所需的标量乘法运算次数的最小值,对此计算A1..n的最小代价就是m[1,n]。现在需要来递归定义m[i,j],分两种情况进行讨论如下:
当i==j时:m[i,j] = 0,(此时只包含一个矩阵)
当i<j 时:从步骤1中需要寻找一个k(i≤k<j)值,使得m[i,j] =min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj} (i≤k<j)。
3)计算最优代价
虽然给出了递归解的过程,但是在实现的时候不采用递归实现,而是借助辅助空间,使用自底向上的表格进行实现。设矩阵Ai的维数为pi-1pi,i=1,2.....n。输入序列为:p=<p0,p1,...pn>,length[p] = n+1。使用m[n][n]保存m[i,j]的代价,s[n][n]保存计算m[i,j]时取得最优代价处k的值,最后可以用s中的记录构造一个最优解。书中给出了计算过程的伪代码,摘录如下:
1 MAXTRIX_CHAIN_ORDER(p) 2 n = length[p]-1; 3 for i=1 to n 4 do m[i][i] = 0; 5 for t = 2 to n //t is the chain length 6 do for i=1 to n-t+1 7 j=i+t-1; 8 m[i][j] = MAXLIMIT; 9 for k=i to j-110 q = m[i][k] + m[k+1][i] + qi-1qkqj;11 if q < m[i][j]12 then m[i][j] = q;13 s[i][j] = k;14 return m and s;
MATRIX_CHAIN_ORDER具有循环嵌套,深度为3层,运行时间为O(n3)。如果采用递归进行实现,则需要指数级时间Ω(2n),因为中间有些重复计算。递归是完全按照第二步得到的递归公式进行计算,递归实现如下所示:
1 int recursive_matrix_chain(int *p,int i,int j,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]) 2 { 3 if(i==j) 4 m[i][j] = 0; 5 else 6 { 7 int k; 8 m[i][j] = MAXVALUE; 9 for(k=i;k<j;k++)10 {11 int temp = recursive_matrix_chain(p,i,k,m,s) +recursive_matrix_chain(p,k+1,j,m,s) + p[i-1]*p[k]*p[j];12 if(temp < m[i][j])13 {14 m[i][j] = temp;15 s[i][j] = k;16 }17 }18 }19 return m[i][j];20 }
对递归算计的改进,可以引入备忘录,采用自顶向下的策略,维护一个记录了子问题的表,控制结构像递归算法。完整程序如下所示:
1 int memoized_matrix_chain(int *p,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]) 2 { 3 int i,j; 4 for(i=1;i<=N;++i) 5 for(j=1;j<=N;++j) 6 { 7 m[i][j] = MAXVALUE; 8 } 9 return lookup_chain(p,1,N,m,s);10 }11 12 int lookup_chain(int *p,int i,int j,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])13 {14 if(m[i][j] < MAXVALUE)15 return m[i][j]; //直接返回,相当于查表16 if(i == j)17 m[i][j] = 0;18 else19 {20 int k;21 for(k=i;k<j;++k)22 {23 int temp = lookup_chain(p,i,k,m,s)+lookup_chain(p,k+1,j,m,s) + p[i-1]*p[k]*p[j]; //通过递归的形式计算,只计算一次,第二次查表得到24 if(temp < m[i][j])25 {26 m[i][j] = temp;27 s[i][j] = k;28 }29 }30 }31 return m[i][j];32 }
4)构造一个最优解
第三步中已经计算出来最小代价,并保存了相关的记录信息。因此只需对s表格进行递归调用展开既可以得到一个最优解。书中给出了伪代码,摘录如下:
1 PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,i,j)2 if i== j 3 then print "Ai"4 else5 print "(";6 PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,i,s[i][j]);7 PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,s[i][j]+1,j);8 print")";
4、编程实现
采用C++语言实现这个过程,现有矩阵A1(30×35)、A2(35×15)、A3(15×5)、A4(5×10)、A5(10×20)、A6(20×25),得到p=<30,35,15,5,10,20,25>。实现过程定义两个二维数组m和s,为了方便计算其第一行和第一列都忽略,行标和列标都是1开始。完整的程序如下所示:
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 #define N 6 5 #define MAXVALUE 1000000 6 7 void matrix_chain_order(int *p,int len,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]); 8 void print_optimal_parents(int s[N+1][N+1],int i,int j); 9 10 int main()11 {12 int p[N+1] = {30,35,15,5,10,20,25};13 int m[N+1][N+1]={0};14 int s[N+1][N+1]={0};15 int i,j;16 matrix_chain_order(p,N+1,m,s);17 cout<<"m value is: "<<endl;18 for(i=1;i<=N;++i)19 {20 for(j=1;j<=N;++j)21 cout<<m[i][j]<<" ";22 cout<<endl;23 }24 cout<<"s value is: "<<endl;25 for(i=1;i<=N;++i)26 {27 for(j=1;j<=N;++j)28 cout<<s[i][j]<<" ";29 cout<<endl;30 }31 cout<<"The result is:"<<endl;32 print_optimal_parents(s,1,N);33 return 0;34 }35 36 void matrix_chain_order(int *p,int len,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])37 {38 int i,j,k,t;39 for(i=0;i<=N;++i)40 m[i][i] = 0;41 for(t=2;t<=N;t++) //当前链乘矩阵的长度42 {43 for(i=1;i<=N-t+1;i++) //从第一矩阵开始算起,计算长度为t的最少代价44 {45 j=i+t-1;//长度为t时候的最后一个元素46 m[i][j] = MAXVALUE; //初始化为最大代价47 for(k=i;k<=j-1;k++) //寻找最优的k值,使得分成两部分k在i与j-1之间48 {49 int temp = m[i][k]+m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];50 if(temp < m[i][j])51 {52 m[i][j] = temp; //记录下当前的最小代价53 s[i][j] = k; //记录当前的括号位置,即矩阵的编号54 }55 }56 }57 }58 }59 60 //s中存放着括号当前的位置61 void print_optimal_parents(int s[N+1][N+1],int i,int j)62 {63 if( i == j)64 cout<<"A"<<i;65 else66 {67 cout<<"(";68 print_optimal_parents(s,i,s[i][j]);69 print_optimal_parents(s,s[i][j]+1,j);70 cout<<")";71 }72 73 }
程序测试结果如下所示:
5、总结
动态规划解决问题关键是分析过程,难度在于如何发现其子问题的结构及子问题的递归解。这个需要多多思考,不是短时间内能明白。在实现过程中遇到问题就是数组,数组的下标问题是个比较麻烦的事情,如何能够过合理的去处理,需要一定的技巧。
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