ZOJ 1088 System Overload

来源：互联网发布：2016年母婴数据分析编辑：程序博客网时间：2024/04/26 09:03

题目链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=88

题意：有几幢楼分别从1~n编号，现在1号楼首先断网，从下一幢未断网的楼从1开始数（数的是未断网的楼）到m，对数到m的楼进行断网，求当有n幢楼时，m是多少2号楼是最后断网的。

例：当n=10时，m=3，2号楼是最后断网的，断网顺序：1；4；7；10；5；9；6；3；2

解题思路：

有两种做法，一种是暴力的进行模拟，时间效率不高，另一种是用数学的方法做，也就是约瑟夫环问题，

//模拟做法

//Judge StatusProblem IDLanguageRun Time(ms)Run Memory(KB)//Accepted  1088       C++         520          272#include <iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int main(){    int n,i;    bool cut[155];    while(scanf("%d",&n) && n!=0)    {        bool find=false;//表示是否成功        int m=1;//m从1开始模拟        while(!find)        {            memset(cut,true,sizeof(cut));//每次模拟对所有楼设为未断网             cut[1]=false;//1号楼首先断网            int before=1;//记录前一幢断网的楼号            int k=m;//k用于辅助            int num=n-1;//表示未断网的楼的数量            while(num!=1)//当未断网的楼只有一幢时此次m值的模拟结束，判断未断网的楼是否为2号来判断            {            //这个m值是否成功                for(i=1;i<=k;i++ )                    if(!cut[(before+i)%n])//在数的过程中遇到以断网的楼那么k的值需要加1，来跳过这幢楼                          k++;//对于%n，因为是循环                before=(before+k)%n;//记录前一幢断网的楼                cut[before]=false;//把那幢楼状态设为断网                   num--;//未断网楼数减1                if(cut[2]==false)//如果在模拟过程中遇到2号楼断网了那么这个m是错误的直接进行下一次模拟                    break;                    k=m;//在模拟中为了跳过以断网的楼k值也许已经改变，但是再数下一幢时k要变成m再数            }            if(cut[2]==true && num==1)//判断成功的条件                find=true;            else                m++;        }        printf("%d\n",m);    }    return 0;}

约瑟夫环：

首先明确约瑟夫环问题：约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

好了下面开始推公式：

给出一个序列，从0～n-1编号。其中，k代表出列的序号的下一个，即k-1出列。

a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1

k-1出列后得到

b 0, 1…k-2,.k, k+1 ,….., n-1

对b进行转化一下，把0~k-2这串数列挪到k~n-1后面得到

b* k ,k+1 ,….n-1, 0, 1,….k-2

对b*数列进行一种映射：

k -----> 0
k+1 ------> 1
k+2 ------> 2

…..
n-1 ------>n-k-1

0 ------>n-k

1 ------>n-k+1

...
...

k-2 ------> n-2

也就形成c数列

C 0 ,1, 2,…., n-k-1, n-k, n-k+1, …….n-2

可以看出右边的值加个k对其取余（%n）就是左边的的值

这是一个n -1个人的问题，如果能从n -1个人问题的解推出 n 个人问题的解，从而得到一个递推公式，那么问题就解决了。假如我们已经知道了n -1个人时，最后胜利者的编号为x，那么他原本的编号就是（x+k）%n,也就是胜利者的编号。

其中k等于m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n +(m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n

假设第三轮的开始数字为B，那么这n - 2个数构成的约瑟夫环为B, B + 1, B + 2,......B - 3, B - 2.。继续做映射。

      B -----> 0
   B+1 ------>1
   B+2 ------>2
   ...
   ...

B-2 ------> n-3

这是一个n - 2个人的问题。假设最后的胜利者为y，那么n -1个人时，胜利者为 (y + B) % (n -1 )，其中B等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) %(n-1)

要得到n - 1个人问题的解，只需得到n- 2个人问题的解，倒推下去。只有一个人时，胜利者就是编号0。下面给出递推式：

f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i;(i>1)

也许你会迷惑为什么%n变成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i？其实这个稍微想想就能明了。我们%n就是为了从序列c转换到序列b*——这是在n-1序列转换成n序列时%n；那么从n-2转换到n-1呢？不是要%(n-1)了吗？所以这个值是变量，不是常量。

好了公式推导完毕，下面回到这道题，依旧以n=10,m=3为例子，对他的映射转换过程具体分析。

首先1号楼直接断网，排除1号楼，映射关系从2号楼开始

红色数字表示2号楼在映射过程编号的变化，黄色数字表示下个断网楼号映射后的编号

第一次映射

2 - 0

3 - 1

4 - 2

5 - 3

6 - 4

7 - 5

8 - 6

9 - 7

10 - 8

第二次映射

3 0

4 1

5 2

6 3

7 4

8 5

0 6

1 7

第三次映射

3 0

4 1

5 2

6 3

7 4

0 5

1 6

第四次映射

3 0

4 1

5 2

6 3

0 4

1 5

第五次映射

3 0

4 1

5 2

0 3

1 4

第六次映射

3 0

4 1

0 2

1 3

第七次映射

3 0

0 1

1 2

第八次映射

0 0

1 1

第九次映射

1 0

最后总结：

2号楼最后映射关系后的编号肯定为0，因为只有他这么一幢楼，然后就是由后往前推，9次推后（n-1）它是否依旧是0

//公式//Judge StatusProblem IDLanguageRun Time(ms)Run Memory(KB)//Accepted       1088      C++         0            272#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int n;int judge(int m){    int f=0;    //由于开始XWBy一号大楼开始直接出队，所以从2~n进行编号0~n-2    for(int i=2;i<n;i++)        f=(f+m)%i;    if(f==0)//编号为0,对应2号大楼        return 1;    else        return 0;}int main(){    while(scanf("%d",&n) && n!=0)    {        int m=1;        while(!judge(m))            m++;        printf("%d\n",m);    }    return 0;}

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