排序算法（六）- 归并排序

一、归并排序的介绍

将两个的有序数列合并成一个有序数列，我们称之为"归并"。
归并排序(Merge Sort)就是利用归并思想对数列进行排序。根据具体的实现，归并排序包括"从上往下"和"从下往上"2种方式。

1. 从下往上的归并排序：将待排序的数列分成若干个长度为1的子数列，然后将这些数列两两合并；得到若干个长度为2的有序数列，再将这些数列两两合并；得到若干个长度为4的有序数列，再将它们两两合并；直接合并成一个数列为止。这样就得到了我们想要的排序结果。(参考下面的图片)

2. 从上往下的归并排序：它与"从下往上"在排序上是反方向的。它基本包括3步：
① 分解 -- 将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high)/2;
② 求解 -- 递归地对两个子区间a[low...mid] 和 a[mid+1...high]进行归并排序。递归的终结条件是子区间长度为1。
③ 合并 -- 将已排序的两个子区间a[low...mid]和 a[mid+1...high]归并为一个有序的区间a[low...high]。

下面的图片很清晰的反映了"从下往上"和"从上往下"的归并排序的区别。

二、归并排序图文说明

归并排序代码：

/* * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个 * * 参数说明： *     a -- 包含两个有序区间的数组 *     start -- 第1个有序区间的起始地址。 *     mid   -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。 *     end   -- 第2个有序区间的结束地址。 */void merge(int a[], int start, int mid, int end){    int *tmp = (int *)malloc((end-start+1)*sizeof(int));    // tmp是汇总2个有序区的临时区域    int i = start;            // 第1个有序区的索引    int j = mid + 1;        // 第2个有序区的索引    int k = 0;                // 临时区域的索引    while(i <= mid && j <= end)    {        if (a[i] <= a[j])            tmp[k++] = a[i++];        else            tmp[k++] = a[j++];    }    while(i <= mid)        tmp[k++] = a[i++];    while(j <= end)        tmp[k++] = a[j++];    // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。    for (i = 0; i < k; i++)        a[start + i] = tmp[i];    free(tmp);}/* * 归并排序(从上往下) * * 参数说明： *     a -- 待排序的数组 *     start -- 数组的起始地址 *     endi -- 数组的结束地址 */void merge_sort_up2down(int a[], int start, int end){    if(a==NULL || start >= end)        return ;    int mid = (end + start)/2;    merge_sort_up2down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid]    merge_sort_up2down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end]    // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间，    // 将它们排序成一个有序空间a[start...end]    merge(a, start, mid, end);}

从上往下的归并排序采用了递归的方式实现。它的原理非常简单，如下图：

通过"从上往下的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：
1. 将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{80,30,60,40}和{20,10,50,70}组成。对两个有序子树组进行排序即可。
2. 将子数组{80,30,60,40}看作由两个有序的子数组{80,30}和{60,40}组成。
    将子数组{20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{20,10}和{50,70}组成。
3. 将子数组{80,30}看作由两个有序的子数组{80}和{30}组成。
    将子数组{60,40}看作由两个有序的子数组{60}和{40}组成。
    将子数组{20,10}看作由两个有序的子数组{20}和{10}组成。
    将子数组{50,70}看作由两个有序的子数组{50}和{70}组成。

代码：

/* * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组； *             将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 * * 参数说明： *     a -- 待排序的数组 *     len -- 数组的长度 *     gap -- 子数组的长度 */void merge_groups(int a[], int len, int gap){    int i;    int twolen = 2 * gap;    // 两个相邻的子数组的长度    // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。    for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap))    {        merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1);    }    // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。    // 将该子数组合并到已排序的数组中。    if ( i+gap-1 < len-1)    {        merge(a, i, i + gap - 1, len - 1);    }}/* * 归并排序(从下往上) * * 参数说明： *     a -- 待排序的数组 *     len -- 数组的长度 */void merge_sort_down2up(int a[], int len){    int n;    if (a==NULL || len<=0)        return ;    for(n = 1; n < len; n*=2)        merge_groups(a, len, n);}

从下往上的归并排序的思想正好与"从下往上的归并排序"相反。如下图：

通过"从下往上的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：
1. 将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由8个有序的子数组{80},{30},{60},{40},{20},{10},{50}和{70}组成。
2. 将这8个有序的子数列两两合并。得到4个有序的子树列{30,80},{40,60},{10,20}和{50,70}。
3. 将这4个有序的子数列两两合并。得到2个有序的子树列{30,40,60,80}和{10,20,50,70}。
4. 将这2个有序的子数列两两合并。得到1个有序的子树列{10,20,30,40,50,60,70,80}。

三、归并排序的时间复杂度和稳定性

归并排序时间复杂度
归并排序的时间复杂度是O(N*lgN)。
假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢？
归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(N*lgN)。

归并排序稳定性
归并排序是稳定的算法，它满足稳定算法的定义。
算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！

四、归并排序的实现

代码：

/** * 归并排序：Java * * @author Anndy */public class MergeSort {    /*     * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个     *     * 参数说明：     *     a -- 包含两个有序区间的数组     *     start -- 第1个有序区间的起始地址。     *     mid   -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。     *     end   -- 第2个有序区间的结束地址。     */    public static void merge(int[] a, int start, int mid, int end) {        int[] tmp = new int[end-start+1];    // tmp是汇总2个有序区的临时区域        int i = start;            // 第1个有序区的索引        int j = mid + 1;        // 第2个有序区的索引        int k = 0;                // 临时区域的索引        while(i <= mid && j <= end) {            if (a[i] <= a[j])                tmp[k++] = a[i++];            else                tmp[k++] = a[j++];        }        while(i <= mid)            tmp[k++] = a[i++];        while(j <= end)            tmp[k++] = a[j++];        // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。        for (i = 0; i < k; i++)            a[start + i] = tmp[i];        tmp=null;    }    /*     * 归并排序(从上往下)     *     * 参数说明：     *     a -- 待排序的数组     *     start -- 数组的起始地址     *     endi -- 数组的结束地址     */    public static void mergeSortUp2Down(int[] a, int start, int end) {        if(a==null || start >= end)            return ;        int mid = (end + start)/2;        mergeSortUp2Down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid]        mergeSortUp2Down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end]        // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间，        // 将它们排序成一个有序空间a[start...end]        merge(a, start, mid, end);    }    /*     * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组；     *             将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。     *     * 参数说明：     *     a -- 待排序的数组     *     len -- 数组的长度     *     gap -- 子数组的长度     */    public static void mergeGroups(int[] a, int len, int gap) {        int i;        int twolen = 2 * gap;    // 两个相邻的子数组的长度        // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。        for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap))            merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1);        // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。        // 将该子数组合并到已排序的数组中。        if ( i+gap-1 < len-1)            merge(a, i, i + gap - 1, len - 1);    }    /*     * 归并排序(从下往上)     *     * 参数说明：     *     a -- 待排序的数组     */    public static void mergeSortDown2Up(int[] a) {        if (a==null)            return ;        for(int n = 1; n < a.length; n*=2)            mergeGroups(a, a.length, n);    }    public static void main(String[] args) {        int i;        int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70};        System.out.printf("before sort:");        for (i=0; i<a.length; i++)            System.out.printf("%d ", a[i]);        System.out.printf("\n");        mergeSortUp2Down(a, 0, a.length-1);        // 归并排序(从上往下)        //mergeSortDown2Up(a);                    // 归并排序(从下往上)        System.out.printf("after  sort:");        for (i=0; i<a.length; i++)            System.out.printf("%d ", a[i]);        System.out.printf("\n");    }}