polya定理+欧拉函数优化

poj-2154

题意：给出两个整数n和p，代表n个珠子，n种颜色，要求不同的项链数，翻转置换不考虑。结果模p.

题解：

我们知道gcd（i,n)表示了循环节的个数。例如gcd(2,6) = 2, 它的具体过程为：[1，3，5] [2，4，6]

对于任意一个循环置换，他所有循环节的长度为 n / gcd(i,n)，在上面的例子中: 循环节长度 = 6 / gcd(2,6) = 3

为了方便说明，用L表示循环节的长度，显然 L | n

如果我们枚举L，求出对于每一个L有多少个i, 使得 L = n / gcd (i,n)， 那么我们实际上也得到了循环节个数为 n / L 的置换个数。

将L = n / gcd (i,n)转换一下得到：n / L = gcd（i,n )

设 cnt ＝ n / L = gcd(i, n)  注：cnt表示循环节个数，L表示每一个循环节的长度

因为 cnt | i, 所以可令 i ＝ cnt * t; ( 因为0 <= i < n, 所以0 <= t < n / cnt = L )

又因为 cnt = n / L， 所以 n = cnt * L;

则 gcd ( i, n ) = gcd ( cnt*t, cnt*L ) = cnt;  ①

可知当 gcd ( t, L ) = 1 时 ① 式成立。

由于 gcd ( t, L ) = 1 的个数就是 Euler(L)的个数，

所以我们可以得到结论：循环节个数为n/L的置换有Euler(L)个。

#include<cmath>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdio>using namespace std;int euler(int n,int m){ //返回euler(n)     int res=n,a=n;     for(int i=2;i*i<=a;i++){         if(a%i==0){             res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出             while(a%i==0) a/=i;         }     }     if(a>1) res=res/a*(a-1);     return res%m;}int mod_exp ( int a, int b, int m )//a^b %m{    int ret = 1;    a = a % m;    while ( b >= 1 )    {        if ( b & 1 )            ret = ret * a % m;        a = a * a % m;        b >>= 1;    }    return ret;}int Polya ( int n, int m ){    int ret = 0;    for ( int l = 1; l*l <= n; l++ )    {        if ( n % l ) continue;        ret = (ret + euler(l,m) * mod_exp(n, n/l-1, m)) % m;        if ( l * l == n ) break;        ret = (ret + euler(n/l,m) * mod_exp(n, l-1, m)) % m;    }    return ret;}int main(){    int n, m, cs;    scanf("%d",&cs);    while ( cs-- )    {        scanf("%d%d",&n,&m);        printf("%d\n",Polya(n,m));    }    return 0;}