图结构（八）- Prim算法

一、普里姆算法介绍

普里姆(Prim)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想
 对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。 从所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的所有顶点)的边中选取权值最小的边(u, v)，将顶点v加入集合U中，将边(u, v)加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树中的所有边。

二、普里姆算法图解

以上图G4为例，来对普里姆进行演示(从第一个顶点A开始通过普里姆算法生成最小生成树)。

初始状态：V是所有顶点的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！
第1步：将顶点A加入到U中。
           此时，U={A}。
第2步：将顶点B加入到U中。
          上一步操作之后，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；因此，边(A,B)的权值最小。将顶点B添加到U中；此时，U={A,B}。
第3步：将顶点F加入到U中。
          上一步操作之后，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；因此，边(B,F)的权值最小。将顶点F添加到U中；此时，U={A,B,F}。
第4步：将顶点E加入到U中。
          上一步操作之后，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；因此，边(F,E)的权值最小。将顶点E添加到U中；此时，U={A,B,F,E}。
第5步：将顶点D加入到U中。
          上一步操作之后，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；因此，边(E,D)的权值最小。将顶点D添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D}。
第6步：将顶点C加入到U中。
          上一步操作之后，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；因此，边(D,C)的权值最小。将顶点C添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D,C}。
第7步：将顶点G加入到U中。
          上一步操作之后，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；因此，边(F,G)的权值最小。将顶点G添加到U中；此时，U=V。

此时，最小生成树构造完成！它包括的顶点依次是：A B F E D C G。

三、普里姆算法的代码说明

以"邻接矩阵"为例对普里姆算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。

1. 基本定义

public class MatrixUDG {    private char[] mVexs;       // 顶点集合    private int[][] mMatrix;    // 邻接矩阵    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;   // 最大值    ...}

MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。mVexs用于保存顶点，mEdgNum用于保存边数，mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，mMatrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即mVexs[i])"和"顶点j(即mVexs[j])"是邻接点；mMatrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。

2. 普里姆算法

/* * prim最小生成树 * * 参数说明： *   start -- 从图中的第start个元素开始，生成最小树 */public void prim(int start) {    int num = mVexs.length;         // 顶点个数    int index=0;                    // prim最小树的索引，即prims数组的索引    char[] prims  = new char[num];  // prim最小树的结果数组    int[] weights = new int[num];   // 顶点间边的权值    // prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。    prims[index++] = mVexs[start];    // 初始化"顶点的权值数组"，    // 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。    for (int i = 0; i < num; i++ )        weights[i] = mMatrix[start][i];    // 将第start个顶点的权值初始化为0。    // 可以理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。    weights[start] = 0;    for (int i = 0; i < num; i++) {        // 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。        if(start == i)            continue;        int j = 0;        int k = 0;        int min = INF;        // 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。        while (j < num) {            // 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。            if (weights[j] != 0 && weights[j] < min) {                min = weights[j];                k = j;            }            j++;        }        // 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。        // 将第k个顶点加入到最小生成树的结