矩形嵌套

题意

有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

模型建立

矩形之间的可嵌套关系是一个典型的二元关系，二元关系可以用图来建模。如果矩形X可嵌套在矩形Y中，就从X向Y连一条有向边。这个有向图是无环的，它是一个DAG。这样所求便是不固定起点和终点的DAG上的最长路。

解题过程

• 动态规划
  

DAG中不固定顶点的最长路，使用动态规划的方式求解，dp[i] = max{dp[j]+1|(i,j)属于E}，其中，E是边集。

• 字典序路径

将计算出的dp值保存下来，选出最大的dp[i]，从i开始逐渐搜索满足条件且字典序最小的矩形。

#include <algorithm>#include <iostream>  #include <cstring>    #include <cstdio>    #include <vector>  #include <queue>  #include <map>    using namespace std;      const int INF = 0x3f3f3f3f;  int G[1010][1010],dp[1010],n,id;int DFS(int i){int &ans = dp[i];//为dp[i]声明一个引用 这样对ans的读写就都相当于对dp[i]进行if(dp[i] != -1) return dp[i];ans = 1;//!for(int j=1; j<=n; j++)if(G[i][j]) ans = max(ans, DFS(j)+1);return ans;}struct matrix{int a,b;matrix(){}matrix(int a, int b):a(a),b(b) {}}node[1010];void print_path(int i){//保证字典序cout << i << endl;for(int j=1; j<=n; j++){if(G[i][j] && dp[i] == dp[j] + 1){print_path(j);break;}}}int main(){int cas; cin >> cas;while(cas--){cin >> n;for(int i=1; i<=n; i++)cin >> node[i].a >> node[i].b;memset(G, 0, sizeof(G));for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<=n; j++){if(node[j].a < node[i].a && node[j].b < node[i].b) G[i][j] = 1;if(node[j].a < node[i].b && node[j].b < node[i].a) G[i][j] = 1;}}memset(dp, -1, sizeof(dp));int ans = 1;for(int i=1; i<=n; i++){if(DFS(i) > ans){ans = DFS(i);id = i;}}cout << ans << endl;print_path(id);}return 0;}