数学相关

转自Lcomyn，有个别格式修改。

质数筛

朴素质数筛：

void Prime1() {     memset(a, 0, n * sizeof(a[0]));     int num = 0, i, j;     for(i = 2; i < n; ++i)        if(!a[i]){           p[num++] = i;             for(j = i*i; j < n; j +=i)                a[j] = 1;         }}

线性筛法：

void Prime2(){    memset(a,0,n*sizeof(a[0]));    int num=0,i,j;    for(i=2;i<n;++i){        if(!(a[i]))p[num++] = i;        for(j=0;(j<num&&i*p[j]<n&&(p[j]<=a[i]||a[i]==0)); ++j)             a[i*p[j]] = p[j];//a[j]可以记录每个数的最小质因子      }}

GCD

普通gcd

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

int gcd(int a,int b){       return ( (a%b)? b : gcd(b,a%b) );} 

高精gcd

gcd(x,y)=gcd(x,y/2) (x->odd,y->even)
gcd(x,y)=2*gcd(x/2,y/2) (x,y->even)
gcd(x,y)=gcd(x,y-x) (x,y->odd)

拓展欧几里德

可以求出 ax=1 (mod b) 的其中一根

void exgcd(int a,int b)  {          int t;      if (a%b==0)x=0,y=1;    else{          exgcd(b,a%b);          t=x,x=y;          y=t-(a/b)*y;        }  }  

中国剩余定理

int b[100],m[100];  int n,x,y,N;  void exgcd(int a,int b)  {          int t;      if (a%b==0)x=0,y=1;    else{          exgcd(b,a%b);          t=x,x=y;          y=t-(a/b)*y;        }  }  int main(){      int i,now,ans;      scanf("%d",&n); N=1; ans=0;      for (i=1;i<=n;++i){          scanf("%d%d",&b[i],&m[i]);          N=N*m[i];//求得所有模数的积；        }      for (i=1;i<=n;++i){          now=N/m[i];          now=now%m[i];          exgcd(now,m[i]);求出 now*x=1 (mod m[i])          x=(x%m[i]+m[i])%m[i];//求出最小正数解；          x=(x*(N/m[i])*b[i])%N;           ans=(ans+x)%N;          }      printf("%d\n",ans);  }

欧拉公式，费马小定理等

a^( phi(p) ) = 1 (mod p) => a*a^(phi(p)-1)=1 (mod p)
=> a与a^(phi(p)-1)互为p的乘法逆元
特别地 当p是质数时：
phi(p)=p-1=>a^(p-1)=1 (mod p)=>a*a^(p-2)=1 (mod p)=>a与a^(p-2)互为p的乘法逆元

欧拉函数求法

phi(i)=i*(1-1/p1)(1-1/p2)…*(1-1/pk)

code1(单个数):

m=floor(sqrt(n));phi[n]=n;for (int i=2;i<=m;++i)  if (n%i==0){      phi[n]=phi[n]/i*(i-1);      while (n%i==0) n/=i;    }if (n>1) phi[n]=phi[n]/n*(n-1);

code2(一坨数):

int phi[maxn];void phin(int n){  for (int i=2;i<=n;++i) phi[i]=0;    phi[1]=1;  for (int i=2;i<=n;++i) if (!phi[i])    for (int j=i;j<=n;j+=i) {      if (phi[j]) phi[j]=j;        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);    }}

组合数

C(n,m)=n!/m!(n-m)!
C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)
C(n,m)=(n/m)C(n-1,m-1)=C(n,m-1)((n-m+1)/m)

Lucas

n=a*p+b m=a’*p+b’
C(n,m)=C(a,a’)*C(b,b’)

莫比乌斯反演

f(n)=sigma g(n) 则 g(n)=sigma c(n/d)*f(d)或c(d)*f(n/d)
其中 d|n
其中 c(n)={1 n=1
(-1)^k n=p1*p2*p3*..*pk,pi为互异素数
0 其他情况}

原根

假设一个数g对于P是原根，则有：
g^i <> g^j (mod P)=>
当且仅当指数为P-1时，g^(P-1)=1 (mod P)

高斯消元

输入
a_11*x_1+a_12*x2+…+a_1n*xn=b1
a_21*x_1+a_22*x2+…+a_2n*xn=b2
a_31*x_1+a_22*x2+…+a_2n*xn=b3
…….
a_n1*x_1+a_n2*x2+…+a_nn*xn=bn

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;double a[1000][1000],b[1000],x[1000];int n;int main(){    int i,j,k;    double xi,bz;    scanf("%d",&n);    for (i=1;i<=n;++i)       {        for (j=1;j<=n;++j)          {            scanf("%lf",&xi);            a[i][j]=xi;          }        scanf("%lf",&b[i]);      }    for (k=1;k<=n;++k)      {        if (a[k][k]==0)          {            for (j=k+1;j<=n;++j)              if (a[j][k]!=0)                {                  for (i=1;i<=n;++i)                    swap(a[j][i],a[k][i]);                  swap(b[j],b[k]);                  break;                }          }        for (j=k+1;j<=n;++j)          {            bz=a[j][k]/a[k][k];            for (i=1;i<=n;++i)              a[j][i]-=a[k][i]*bz;            b[j]-=b[k]*bz;          }      }    for (k=n;k>=1;--k)      {        x[k]=b[k]/a[k][k];        for (j=k-1;j>=1;--j)          {            b[j]-=x[k]*a[j][k];            a[j][k]=0;          }      }    for (i=1;i<=n-1;++i)      printf("%.3f ",x[i]);    printf("%.3f\n",x[n]);}