动态规划--最长公共子序列问题 O(nm)

最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

 

例如：X（A,B,C,B,D,A,B）

          Y  (B,D,C,A,B,A)

 

那么最长公共子序列就是：B，C，B，A(细心地朋友已经发现了不止一种子序列，但长度一样，至于输出吗，就看代码吧)

算法设计：用动态规划方法解决

最长公共子序列的结构：

设X = { x1 , ... , xm },Y = { y1 , ... , yn }及它们的最长子序列Z = { z1 , ... , zk }则：

1、若 xm = yn ， 则 zk = xm = yn，且Z[k-1] 是 X[m-1] 和 Y[n-1] 的最长公共子序列

2、若 xm != yn ，且 zk != xm , 则 Z 是 X[m-1] 和 Y 的最长公共子序列

3、若 xm != yn , 且 zk != yn , 则 Z 是 Y[n-1] 和 X 的最长公共子序列

子问题的递归结构：

当 i = 0 , j = 0 时 , c[i][j] = 0

当 i , j > 0 ; xi = yi 时 , c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1

当 i , j > 0 ; xi != yi 时 , c[i][j] = max { c[i][j-1] , c[i-1][j] }

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程图解：

 

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为O(m + n)。