面试 笔记

马上又要秋招了，赶紧复习下基础知识。这里复习下二叉树、图的深搜与广搜。从图的遍历说起，图的遍历方法有两种：深度优先遍历(Depth First Search), 广度优先遍历(Breadth First Search)，其经典应用走迷宫、N皇后、二叉树遍历等。遍历即按某种顺序访问“图”中所有的节点，顺序分为：

• 深度优先(优先往深处走)，用的数据结构是栈, 主要是递归实现；
• 广度优先(优先走最近的)，用的数据结构是队列，主要是迭代实现；

对于深搜，由于递归往往可以方便的利用系统栈，不需要自己维护栈，所以通常实现比较简单。而对于广搜，则需要自己维护一个队列，且由于队列大小未知，底层存储的物理结构采用链式存储。

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二叉树概念和性质

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，常被用于实现二叉查找树和二叉堆。在图论中，二叉树定义是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于2。二叉树和树有很多相似之处，但并不是树的特殊情形，主要有以下三点主要差别：

1. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；
2. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分；
3. 树的结点个数至少为1，而二叉树的结点个数可以为0

树的一些相关概念：

• 结点的度：结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。二叉树就只有 0，1，2 三种情况；
• 叶结点：度为 0 的结点称为叶结点，或者称为终端结点；
• 分枝结点：度不为 0 的结点称为分支结点，一棵树的结点除叶结点外，其余的都是分支结点；
• 结点的层数: 规定树的根结点的层数为 1，其余结点的层数等于它的双亲结点的层数加 1;
• 树的深度: 树中所有结点的最大层数称为树的深度;
• 路径、路径长度。如果一棵树的一串结点 n(1), n(2),  …, n(k)  有如下关系：结点 n(i) 是 n(i+1) 的父结点 (1≤i<k), 就把 n(1),n(2),…,n(k) 称为一条由 n(1) 至 n(k) 的路径。这条路径的长度是 k-1;
• 满二叉树: 在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同一层上；
• 完全二叉树: 深度为 K 的，有 N 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中按层序编号从 1 至 N 的结点一一对应；
• 堆是一种完全二叉树，常用的排序算法、Dijkstra 算法、Prim 算法等都常用堆优化；
• AVL树：它是最先发明的自平衡二叉查找树, 名字来源于其发明者，AVL 树中任何节点的两个子树的高度最大差别为 1, 查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是 O(logn);

二叉树的重要的性质：

• 性质1：在二叉树的第 i 层上至多有 2i-1 个结点 (i≥1);
• 性质2：深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点 (k≥1);
• 性质3：对任何一棵二叉树，若它含有 n0 个叶子结点、n2 个度为 2 的结点，则：n0 = n2+1;
• 性质4：具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 log2n+1;
• 性质5：若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右(即按层序)进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：
  (1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为i/2 的结点为其双亲结点；
  (2) 若 2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
  (3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点；

小实验(C 实现)

这里首先用一个数组生成一个完全二叉树(链式存储), 然后深搜用前序遍历，广搜借助自己实现的一个队列(链式存储)来进行，图如下所示：

代码为：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef struct Node {int data;struct Node * left;struct Node * right;} BitNode, *BiTree;typedef BiTree QElemType;  // 定义队列元素类型typedef struct QNode {QElemType data;   // 存放树节点指针struct QNode *next;} QNode, *QueuePtr;  // 队列节点和节点指针typedef struct LinkQueue {QueuePtr front, rear;} LinkQueue; // 队列前后指针: 队首，队尾/* 初始化队列  */int InitQueue(LinkQueue *Q) {QueuePtr s = (QueuePtr) malloc(sizeof(QNode));if (!s)return 0;Q->front = s;Q->rear = s;return 1;}/* 入队 */int EnQueue(LinkQueue *Q, QElemType e) {if (e == NULL)return 0;QueuePtr s = (QueuePtr) malloc(sizeof(QNode));if (!s) return 0;s->data = e;s->next = NULL;Q->rear->next = s;Q->rear = s;return 1;}/* 出队 */int DeQueue(LinkQueue *Q, QElemType *e) {if (Q->front == Q->rear) {return 0;} // 首位指针相等，队列空，出队失败QueuePtr p;p = Q->front->next; // 头结点不放数据，其后继结点作为队首，出队*e = p->data;Q->front->next = p->next; // 队首指针后移一个节点if (Q->rear == p) {Q->rear = Q->front;} // 尾指针如果指向的是头结点后第一个节点，则令其指向队首指针。 即队列只有一个数据节点的情况free(p);return 1;}/* 利用数组 a 创建二叉树，递归的编写技巧在于设计好函数接口 */void CreateTree(BiTree *bt, int a[], int len, int index) {if (index > len - 1)return;(*bt) = (BiTree) malloc(sizeof(BitNode));   // 指针变量初始化堆区的内存，c 用 malloc 函数(*bt)->data = a[index];(*bt)->left = NULL;   //  不能能省略，当其为叶节点时，指针域为 NULL，而且常作为程序判断条件(*bt)->right = NULL;CreateTree(&((*bt)->left), a, len, 2 * index + 1);CreateTree(&((*bt)->right), a, len, 2 * index + 2);}/* 前序遍历二叉树 , 属于深度优先遍历 DFS */void PreOrderTraverse(BiTree bt) {if (bt == NULL)return;printf("%d ", bt->data); // 操作节点数据PreOrderTraverse(bt->left);PreOrderTraverse(bt->right);}/* 按层遍历，即广度优先遍历 BFS */void BFSTraverse(BiTree bt) {LinkQueue *Q = (LinkQueue *) malloc(sizeof(LinkQueue));BiTree e;InitQueue(Q);EnQueue(Q, bt);while (Q->front != Q->rear) {DeQueue(Q, &e);printf("%d ", e->data);EnQueue(Q, e->left);EnQueue(Q, e->right);}}int main() {int arr[] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};BiTree root;CreateTree(&root, arr, sizeof(arr) / sizeof(int), 0);printf("PreOrderTraverse: ");PreOrderTraverse(root);printf("\nBFSOrderTravesre: ");BFSTraverse(root);return 0;}/*程序运行如下：PreOrderTraverse: 0 1 3 4 2 5 6BFSOrderTravesre: 0 1 2 3 4 5 6 */