归并排序算法

归并排序是一种典型的分治算法

1. 分解：总是对排序区间内的元素以中点二分，分别对左右区间进行排序
2. 解决：归并排序不断递归调用自己，分解到底层后，待排序区间缩减为2个元素的比较
3. 合并：在递归分解的每一层上，都得到左右两边已经排序的子序列，需要将有序子序列合并到一个序列. 实质上 “解决”环节是在“合并”中一起完成的，因为分解到每组2个元素还可以继续分解成左右各1个元素，然后再逐层向上合并.
4. 合并是本算法的难点，需要两个指示器来分别标识两个子序列进行当前排序的两个元素；此外本设计中在左右两个子序列后面增加了一个无穷大元素，以方便处理边界问题

代码实现

#include <iostream>#include <string>#include <vector>#include <cfloat>using namespace std;void merge(vector<double> & A, int p, int q, int r){    int nl = q-p+1;    int nr = r-q;    vector<double> al(nl+1), ar(nr+1);    for( int i = 0; i<nl; ++i)    {        al[i] = A[p+i];    }    for (int j = 0; j<nr; ++j)    {        ar[j] = A[q+1+j];    }    al[nl] = DBL_MAX;    ar[nr] = DBL_MAX;    int i = 0;    int j = 0;    for (int k = p; k <= r; ++k)    {        if(al[i] <= ar[j])        {            A[k] = al[i];            ++i;        }        else         {            A[k] = ar[j];            ++j;        }    }}void mergesort(vector<double> & A, int p, int r){     if (p<r)    {        int q = (p+r)/2;        for (int i=0; i<A.size(); ++i)        {            cout<<A[i]<<" ";        }        cout<<endl;        mergesort(A, p, q);        mergesort(A, q+1, r);        merge(A, p, q, r);    }}int main(){    double arr[] =  {10, 12, 5, 56, 28, 15, 68, 45, 98, 2, 73};    vector<double> A(arr, arr+11);    for (int i=0; i<A.size(); ++i)    {        cout<<A[i]<<endl;    }    int p=0;    int r=A.size()-1;    mergesort(A, p, r);    for (int i=0; i<A.size(); ++i)    {        cout<<A[i]<<endl;    }    return 0;}

复杂度分析

1. 每次进行二分分解，长度为 n 的序列，最大层数为 lg(n) . 每层之中要合并的总元素个数为 n , 合并的复杂度为 Θ(n)
2. 整个算法的时间复杂度为 Θ(nlg(n))