阶乘的0

阶乘的0

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难度：3

描述

计算n!的十进制表示最后有多少个0

输入

第一行输入一个整数N表示测试数据的组数(1<=N<=100)
每组测试数据占一行，都只有一个整数M(0<=M<=10000000)

输出

输出M的阶乘的十进制表示中最后0的个数
比如5!=120则最后的0的个数为1

样例输入

63601001024234568735373

样例输出

0142425358612183837

面试算法
阶乘（Factorial）是个很有意思的函数，但是不少人都比较怕它，我们来看看两个与阶乘相关的问题： 
1. 给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。 
2. 求N！的二进制表示中最低位1的位置。 
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我要看答案
有些人碰到这样的题目会想：是不是要完整计算出N！的值？如果溢出怎么办？事实上，如果我们从"哪些数相乘能得到10"这个角度来考虑，问题就变得简单了。 
首先考虑，如果N！= K×10M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2x）×（3y）×（5z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。 
根据上面的分析，只要计算出Z的值，就可以得到N！末尾0的个数。 
【问题1的解法一】 
要计算Z，最直接的方法，就是计算i（i =1, 2, …, N）的因式分解中5的指数，然后求和： 
代码清单2-6 
-------------------------------------------------------------------------------- 
ret = 0; 
for(i = 1; i <= N; i++) 
{ 
j = i; 
while(j % 5 ==0) 
{ 
ret++; 
j /= 5; 
} 
} 
-------------------------------------------------------------------------------- 
【问题1的解法二】 
公式：Z = [N/5] +[N/52] +[N/53] + …（不用担心这会是一个无穷的运算，因为总存在一个K，使得5K > N，[N/5K]=0。） 
公式中，[N/5]表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5，[N/52]表示不大于N的数中52的倍数再贡献一个5，……代码如下： 
ret = 0; 
while(N) 
{ 
ret += N / 5; 
N /= 5; 
} 
问题2要求的是N！的二进制表示中最低位1的位置。给定一个整数N，求N！二进制表示的最低位1在第几位？例如：给定N = 3，N！= 6，那么N！的二进制表示（1 010）的最低位1在第二位。 
为了得到更好的解法，首先要对题目进行一下转化。 
首先来看一下一个二进制数除以2的计算过程和结果是怎样的。 
把一个二进制数除以2，实际过程如下： 
判断最后一个二进制位是否为0，若为0，则将此二进制数右移一位，即为商值（为什么）；反之，若为1，则说明这个二进制数是奇数，无法被2整除（这又是为什么）。 
所以，这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。 
【问题2的解法一】 
由于N! 中含有质因数2的个数，等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …[1]， 
根据上述分析，得到具体算法，如下所示： 
代码清单2-7 
-------------------------------------------------------------------------------- 
int lowestOne(int N) 
{ 
int Ret = 0; 
while(N) 
{ 
N >>= 1; 
Ret += N; 
} 
return Ret; 
} 
-------------------------------------------------------------------------------- 
【问题2的解法二】 
N！含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。我们还可以通过这个规律来求解。 
下面对这个规律进行举例说明，假设 N = 11011，那么N!中含有质因数2的个数为 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + … 
即： 1101 + 110 + 11 + 1 
=（1000 + 100 + 1） 
+（100 + 10） 
+（10 + 1） 
+ 1 
=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1 
= 1111 + 111 + 1 
=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1） 
= 11011-N二进制表示中1的个数 
小结任意一个长度为m的二进制数N可以表示为N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m-1)，其中b [ i ]表示此二进制数第i位上的数字（1或0）。所以，若最低位b[1]为1，则说明N为奇数；反之为偶数，将其除以2，即等于将整个二进制数向低位移一位。 
相关题目给定整数n，判断它是否为2的方幂（解答提示：n>0&&（（n&（n-1））==0））。 
-------------------------------------------------------------------------------- 
[1] 这个规律请读者自己证明（提示N/k，等于1, 2, 3, …, N中能被k整除的数的个数）。

我感觉这个题目。。反正我是想不出来这么高大上思路，应该是数学思想，证明方法，学习的不到位，总是碰见数学题就想到暴力，结果各种TLE，记得上次西安区域赛的时候就是这个样子。反正总结下来就是，数学上的题目，基本上是不可能简单暴力就能解决的，一定要从数学分析论证的角度去做。脑子别懒，努力优化。

my answer：

#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int a[10000001];int main(){int n;memset(a,0,sizeof(a));for(int i=1;i <=10000001;i ++){int j=i;while(j%5==0){a[i]++;j/=5;}}cin >> n;int m;while(n--){cin >>m;int count=0;for(int i = 1;i <=m;i ++){count+=a[i];}cout << count<< endl;}

return 0；

}

下面贴一下标程： 

<pre class="cpp" name="code">  #include<iostream>using namespace std;int GetP(int x, int p){   int res = 0;    while (x)    {        res = res + x / p;         x = x / p;    }    return res;}int main(){int nn,m;cin>>nn;while(nn--){cin>>m;cout<<GetP(m,5)<<endl;}}