矩阵专题(续)
来源：互联网 发布：弹簧制作编程 编辑：程序博客网 时间：2024/05/29 19:07
哈哈哈，失踪人员回归。最近总是在忙一些乱七八糟的事情，终于有了一段空闲时间可以刷刷题了。学姐给我准备了kuangbin先生的矩阵专题，作为我的矩阵终结专题。（初学者请先看我的矩阵专题前三篇）
第一题 CodeForces 450B
分析：这道题看似是一道矩阵题，但是实际上是一道模拟题。看题目给出的公式 f(i)=f(i-1)+f(i+1),i>=2，那么转换一下得到了f(i)=f(i-1)-f(i-2),i>=3，当然这题可以使用矩阵快速幂来算，但是多此一举。不妨将f(1)=x f(2)=y代进去计算前几项，那么依次得到 x y y-x -x -y x-y x y ......，我们发现这个数列是有循环节的，而且必定为6，那么只需要计算前六个，n取一下模即可得到答案。注意：x y可能是负数，但是答案一定得是非负整数。
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 200000+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------ll dat[10];int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);ll n;scanf("%I64d %I64d",&dat[1],&dat[2]);dat[1]=(dat[1]+mod)%mod;dat[2]=(dat[2]+mod)%mod;scanf("%I64d",&n);dat[0]=(dat[1]-dat[2]+mod)%mod;for(int i=3;i<6;i++)dat[i]=(dat[i-1]-dat[i-2]+mod)%mod;printf("%I64d\n",dat[n%6]); return 0;}题目大意：给你一个矩阵，矩阵第一行中，第一个数为空，之后的数就是233，2333，23333。。。一直轮下去。然后，矩阵第一列上，第一个数为空（即第一行第一列的那个数为空），之后的所有数会给出。接着，告诉你这个矩阵其他元素都是按照maze[i][j]=maze[i-1][j]+maze[i][j-1]的规律来计算的，让你求出矩阵右下角的数是多少。
分析：一开始没有往矩阵方面想，前段时间数论做多了之后很容易就发现最后的maze[n][m]的数可以通过已知的数乘一个数（满足一个组合数，杨辉三角），然后相加得到。虽然我公式推出来了，但是复杂度太高，而且写起来还麻烦，就被我pass了，有兴趣的朋友可以自己推一推写一写。然后回过去想矩阵做法的话，立刻就想到了（提示n的值很大，但是m的值不大）。将输入的23(第一个23是补充上去的，为了和之后的23333对齐),maze[1][0],maze[2][0],maze[3][0],......作为初始值，根据公式很容易看出转换的矩阵，除了第一个233是前一个23乘10加3，其他的都是maze[i][j]=maze[i-1][j]+maze[i][j-1]。
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#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 0+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------int m;struct matrix{int n;ll maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator * (const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%m;return ans;}};matrix qlow(matrix a,ll n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);int n;while(~scanf("%d %d",&n,&m)){matrix ant;ant.init(2);ant.maze[0][0]=4;ant.maze[1][0]=2;ant.maze[1][1]=1;ant=qlow(ant,n/2);ll ans=ant.maze[1][0];if(n&1)ans=(ans*2+1)%m;cout<<ans<<endl;} return 0;}分析：不会做，看了别人的题解才会的。这里我讲一下思路，作为纯DP题的话，转移方程很好想，但是score太大，无法记忆化搜索；但是作为纯矩阵题的话，一开始完全想不到如何构造矩阵。然后把两者合在一起想，就发现还是矩阵的套路，但是要加上DP的思想（以DP的状态为转移）。将一开始所有可能转移的数据全部算出来作为初始数据，部分数据直接移位就行了，主要就是最后一行的数据（要计算的新数据），需要用到前面所有数据来计算。
我知道读者肯定没有看懂，无妨，请转到这位大神的博客，他写得很好，这里我贴下我的代码
http://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/5256508.html
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#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 0+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);//const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------struct matrix{int n;int maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator * (const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%6;return ans;}};matrix qlow(matrix a,int n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int A[1010][10];int B[10][1010];int C[1010][10];int D[1010][1010];int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);int n,k;while(scanf("%d %d",&n,&k),n||k){for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<k;j++)scanf("%d",&A[i][j]);for(int i=0;i<k;i++)for(int j=0;j<n;j++)scanf("%d",&B[i][j]);matrix ans;ans.init(k);for(int i=0;i<k;i++)for(int j=0;j<k;j++)for(int h=0;h<n;h++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+B[i][h]*A[h][j])%6;ans=qlow(ans,n*n-1);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<k;j++){C[i][j]=0;for(int h=0;h<k;h++)C[i][j]=(C[i][j]+A[i][h]*ans.maze[h][j])%6;}for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++){D[i][j]=0;for(int h=0;h<k;h++)D[i][j]=(D[i][j]+C[i][h]*B[h][j])%6;}ll ant=0;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)ant+=D[i][j];cout<<ant<<endl;} return 0;}分析：比较水的矩阵题，题目看懂没什么大问题。a0，a1，。。。a(n-1)就是初始值，然后直接按照题目给的数据构造矩阵即可。
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 50+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------struct matrix{int n;ll maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator * (const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%1000;return ans;}};matrix qlow(matrix a,int n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);int t;scanf("%d",&t);while(t--){int n,r;scanf("%d %d",&n,&r);matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&ans.maze[0][i]);matrix ant;ant.init(n);for(int i=0;i<n;i++){int k;scanf("%d",&k);while(k--){int a;scanf("%d",&a);ant.maze[a][i]=1;}}ant=qlow(ant,r);ans=ans*ant;int cnt=0;for(int i=0;i<n;i++){if(cnt)putchar(' ');cnt=1;printf("%lld",ans.maze[0][i]);}puts("");} return 0;}分析：很简单的一道矩阵题，比较常规。直接按照斐波那契数列的矩阵构造方法即可，没有任何坑点。
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 0+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------ll m;struct matrix{int n;ll maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator * (const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%m;return ans;}};matrix qlow(matrix a,ll n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);int t;scanf("%d",&t);while(t--){ll a,b,n;scanf("%lld %lld %lld %lld",&a,&b,&n,&m);if(n==0){printf("%lld\n",a);continue;}if(m==1)m=10;else if(m==2)m=100;else if(m==3)m=1000;else m=10000;//cout<<m<<endl;matrix ans;ans.init(2);ans.maze[0][1]=ans.maze[1][0]=ans.maze[1][1]=1;ans=qlow(ans,n-1);printf("%lld\n",(a*ans.maze[0][1]+b*ans.maze[1][1])%m);} return 0;}分析：以前在poj上做过一个几乎一模一样的，可以用二分做，也可以直接矩阵快速幂。（不明白去看一前面的矩阵专题）注意一下，结束条件。
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 90+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------struct matrix{int n;ll maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator * (const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%10;return ans;}};matrix qlow(matrix a,ll n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);int n;ll k;while(scanf("%d %lld",&n,&k),n){matrix ans;ans.init(n<<1);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++){scanf("%lld",&ans.maze[i][j]);ans.maze[i][j]%=10;ans.maze[i][j+n]=ans.maze[i][j];}for(int i=0;i<n;i++)ans.maze[i+n][i+n]=1;ans=qlow(ans,k);for(int i=0;i<n;i++){int cnt=0;for(int j=0;j<n;j++){if(cnt)putchar(' ');cnt=1;printf("%lld",ans.maze[i][j+n]);}puts("");}puts("");} return 0;}分析：题目给你a+b与ab的值，让你求出a^n+b^n。题目描述很简单，解法也比较好想到。对于a^n+b^n，那么考虑a^(n-1)+b^(n-1)，两者之间的联系是a^n+b^n = [a^(n-1)+b^(n-1)] * (a + b) - ab * (a^(n-2) + b^(n-2)) , n>=2。那么可以构造矩阵
注意：-ab要使用加分逆元变成正数！还有p=0，q=0不一定代表输入结束！（特别坑，在这个地方上耍我，出题人一定缺少关爱!）
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 0+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------struct matrix{int n;ll maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator * (const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]+=maze[i][k]*rhs.maze[k][j];return ans;}};matrix qlow(matrix a,ll n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);ll p,q,k;while(scanf("%lld %lld",&p,&q)){if(!(~scanf("%lld",&k))){return 0;}if(k==0){puts("2");continue;}matrix ans;ans.init(2);ans.maze[0][0]=2;ans.maze[0][1]=p;matrix ant;ant.init(2);ant.maze[1][0]=1;ant.maze[0][1]=-q;ant.maze[1][1]=p;ant=qlow(ant,k-1);ans=ans*ant;cout<<ans.maze[0][1]<<endl;} return 0;}分析：题目不是很难，而且矩阵很快就可以构造出来
但是呢，有个小问题，这个矩阵太大了，n可以到500，说不定会超时（我没写过，不知道是不是一定超时）。然后这里需要用到同构矩阵优化，用一维数组模拟二维矩阵乘法。（写这道题的时候，脑子特别不清醒，想了好久才把对应关系找到，汗）不知道的可以看我前面的矩阵专题！
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 500+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);//const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------ll m;struct matrix{int n;ll maze[maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator * (const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)ans.maze[i]=(ans.maze[i]+maze[(i+n-j)%n]*rhs.maze[j])%m;return ans;}};matrix qlow(matrix a,int n){matrix ans;ans.init(a.n);ans.maze[0]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}ll dat[maxn];int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);int n,d,k;while(~scanf("%d %lld %d %d",&n,&m,&d,&k)){for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&dat[i]);matrix ans;ans.init(n);ans.maze[0]=1;for(int i=1;i<=d;i++)ans.maze[i]=ans.maze[n-i]=1;ans=qlow(ans,k);/*for(int i=0;i<n;i++)cout<<ans.maze[i]<<" ";cout<<endl;*/int cnt=0;for(int i=0;i<n;i++){if(cnt)putchar(' ');cnt=1;ll ant=0;for(int j=0;j<n;j++)ant=(ant+dat[j]*ans.maze[(j+n-i)%n])%m;printf("%lld",ant);}puts("");} return 0;}分析：说实话，我感觉题目有点扯淡，而且答案和网上搜到的题解更加扯淡。直接上我google到的结论把，给一个n，如果n为奇数或者n小于8，那么答案是0；否则答案为 （第n-4个斐波那契数 - n/2 + 1 ）。可能有大神能够推出这个结论把 =。=
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 0+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);//const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------const ll mm = 987654321ll;struct matrix{int n;ll maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator * (const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%mm;return ans;}};matrix qlow(matrix a,ll n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);int p;while(scanf("%d",&p),p){if((p&1)||p<8){puts("0");continue;}matrix ans;ans.init(2);ans.maze[0][0]=ans.maze[1][0]=ans.maze[0][1]=1;ans=qlow(ans,p-4);printf("%lld\n",(ans.maze[0][0]-p/2+1+mm)%mm);} return 0;}分析：这道题目，看似很难不好算，但是没有离开矩阵的核心。先求递推式，然后构造矩阵，最后代码。
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 80+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------struct matrix{int n;ll maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator * (const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%mod;return ans;}};matrix qlow(matrix a,ll n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);ll n;int k;scanf("%I64d %d",&n,&k);if(n==1){puts("1");return 0;}matrix ans;ans.init(2*(k+1)+1);for(int i=0;i<k+1;i++)ans.maze[0][i]=1;for(int i=k+1;i<2*(k+1);i++)ans.maze[0][i]=(ans.maze[0][i-1]<<1)%mod;ans.maze[0][2*(k+1)]=ans.maze[0][2*(k+1)-1]+1;//for(int i=0;i<=2*(k+1);i++)//cout<<ans.maze[0][i]<<endl;matrix ant;ant.init(2*(k+1)+1);for(int i=0;i<k+1;i++)ant.maze[i+k+1][i]=1;ant.maze[k+1][k+1]=1;for(int j=1;j<k+1;j++)for(int i=0;i<=j;i++)ant.maze[i+k+1][j+k+1]=(ant.maze[k+1+i][k+j]+ant.maze[i+k][j+k])%mod;for(int j=0;j<k+1;j++)for(int i=0;i<=j;i++)ant.maze[i][j+k+1]=ant.maze[i+k+1][j+k+1]*(1ll<<(j-i))%mod;for(int i=0;i<2*(k+1);i++)ant.maze[i][2*(k+1)]=ant.maze[i][2*(k+1)-1];ant.maze[2*(k+1)][2*(k+1)]=1;//for(int i=0;i<=2*(k+1);i++){//for(int j=0;j<=2*(k+1);j++)//cout<<ant.maze[i][j]<<" ";//cout<<endl;//}ant=qlow(ant,n-2);ans=ans*ant;printf("%I64d\n",ans.maze[0][2*(k+1)]); return 0;}分析：这道就是题目难懂，解法上是一道常规的矩阵题。（题目意思太麻烦了，自己百度把）
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 0+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------ll x;struct matrix{int n;ll maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator *(const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%x;return ans;}};matrix qlow(matrix a,ll n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);ll sx,sy,dx,dy,t;scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d %I64d",&x,&sx,&sy,&dx,&dy,&t);matrix ans;ans.init(6);ans.maze[0][0]=ans.maze[0][1]=ans.maze[1][1]=1;ans.maze[1][2]=ans.maze[1][3]=ans.maze[1][4]=1;ans.maze[1][5]=ans.maze[2][4]=ans.maze[2][5]=ans.maze[2][3]=1;ans.maze[3][2]=ans.maze[3][4]=ans.maze[3][5]=1;ans.maze[4][2]=ans.maze[4][4]=ans.maze[5][3]=ans.maze[5][5]=1;ans.maze[0][2]=ans.maze[0][3]=ans.maze[0][4]=2;ans.maze[2][2]=ans.maze[3][3]=ans.maze[0][5]=2;ans=qlow(ans,t);matrix ant;ant.init(6);ant.maze[0][0]=1;ant.maze[0][2]=sx-1;ant.maze[0][3]=sy-1;ant.maze[0][4]=(dx%x+x)%x;ant.maze[0][5]=(dy%x+x)%x;ant=ant*ans;printf("%I64d %I64d\n",ant.maze[0][2]+1,ant.maze[0][3]+1); return 0;}分析：是一道非常有意思的矩阵题。首先求前n个斐波那契数的和，比较好求，利用矩阵轻松求解。然后，后面的矩阵构造的话，尝试性的构造几个，可以得出规律：只有非零偶数可以构造出这种矩阵，而且该矩阵第一行全为1；然后抛开第一行和第一列不看，就看n*n矩阵右下角那个(n-1)*(n-1)的子矩阵，这个子矩阵的主对角线和主对角线上半个三角形全填上-1；在第二行第一列填上0；在倒数(n-2)/2个行上，对于每一行最左边的一个-1的左边一格填上0；然后其他空白地方都填上1。
我的代码Visual C++可以过，但是 GNU C++过不了，实在搞不清楚为什么，迷！
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 0+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------ll m;struct matrix{int n;ll maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator *(const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%m;return ans;}};matrix qlow(matrix a,ll n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);int t;scanf("%d",&t);for(int cas=1;cas<=t;cas++){ll n;int anw;scanf("%lld %lld",&n,&m);matrix ans;ans.init(3);ans.maze[0][0]=ans.maze[0][1]=1;ans.maze[0][2]=2;matrix ant;ant.init(3);ant.maze[0][1]=ant.maze[0][2]=ant.maze[1][0]=1;ant.maze[1][1]=ant.maze[1][2]=ant.maze[2][2]=1;ant=qlow(ant,n-2);ans=ans*ant;anw=ans.maze[0][2];printf("Case %d: ",cas);if(anw==0||anw%2){puts("No");}else {puts("Yes");int cnt=0;for(int i=0;i<anw;i++){if(cnt)putchar(' ');cnt=1;putchar('1');}puts("");cnt=0;for(int i=0;i<anw;i++){if(cnt)putchar(' ');cnt=1;if(i==0)putchar('0');else printf("-1");}puts("");for(int i=0;i<anw-2;i++){cnt=0;if(i<(anw-2)/2){for(int j=0;j<anw;j++){if(cnt)putchar(' ');cnt=1;if(j<i+2)putchar('1');else printf("-1");}}else {for(int j=0;j<anw;j++){if(cnt)putchar(' ');cnt=1;if(j<i+1)putchar('1');else if(j==i+1)putchar('0');else printf("-1");}}puts("");}}} return 0;}
第十五题 UVA 10518
分析：题目首先得看懂，不懂的自己百度把。其实就是求一个类斐波那契数列，F(1)=1，F(2)=1，F(i)=F(i-1)+F(i-2)+1，i>=3
#include <map>#include <set>#include <ctime>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <bitset>#include <string>#include <vector>#include <cstdio>#include <cctype>#include <fstream>#include <cstdlib>#include <sstream>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;#define maxn 10+10#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define FI first#define SE second#define IT iterator#define PB push_back#define Times 10typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef long double ld;const double eps = 1e-10;const double pi = acos(-1.0);const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;inline void RI(int& x){ x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x;}//--------------------------------------------------ll b;struct matrix{int n;ll maze[maxn][maxn];void init(int n){this->n=n;clr(maze,0);}matrix operator * (const matrix& rhs){matrix ans;ans.init(n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%b;return ans;}};matrix qlow(matrix a,ll n){matrix ans;ans.init(a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;while(n){if(n&1)ans=ans*a;a=a*a;n>>=1;}return ans;}int main(){//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);ll n;int cas=1;while(scanf("%lld %lld",&n,&b),n||b){matrix ans;ans.init(3);ans.maze[0][0]=ans.maze[0][2]=1;ans.maze[1][2]=ans.maze[2][1]=ans.maze[2][2]=1;printf("Case %d: %lld %lld",cas++,n,b);if(n==0){printf(" %d\n",1%b);continue;}matrix ant;ant.init(3);ant.maze[0][0]=ant.maze[0][1]=ant.maze[0][2]=1;ans=qlow(ans,n-1);ant=ant*ans;printf(" %lld\n",ant.maze[0][2]);} return 0;}分析：将斐波那契通项的加改成了乘，那么我们不会去记录这个数字是多少，我们发现这个数字都是有a的多少次方乘以b的多少次方决定的，那么我们记录a与b的次方数。可以简单的将乘法改写为加法，那么本质上与斐波那契的求法就没有什么区别了。
小结： 总算完成了kuangbin先生的矩阵专题了，已经不记得这是我做完的kuangbin先生的第几个专题了！累！但是满满的充实感！
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