函数的增长

1：渐进记号

我们主要用渐进记号来描述算法的运行时间

Θ记号：如Θ（g(n)） 是函数的一个渐进紧确界

O记号：如O（g(n)） 是函数的一个渐进紧确上界

o记号：如o（g(n)） 是函数的一个渐进紧确上界

Ω记号：如Ω（g(n)） 是函数的一个渐进紧确下界

w记号：如w（g(n)） 是函数的一个渐进紧确下界

渐进函数性质：

传递性：

f(n)=Ω（g(n)）且g(n)=Θ（h(n)） 蕴含f(n)=Θ（h(n)）

f(n)=O(g(n)) 且g(n)=O(h(n)) 蕴含f(n)=O(h(n))

f(n)=Ω(g(n)) 且g(n)=Ω(h(n)) 蕴含f(n)=Ω(h(n))

f(n)=o(g(n)) 且g(n)=o(h(n)) 蕴含f(n)=o(h(n))

f(n)=w(g(n)) 且g(n)=w(h(n)) 蕴含f(n)=w(h(n))

自反性：

f(n)=Θ(f(n))

f(n)=O(f(n))

f(n)=Ω(f(n))

对称性：

f(n)=Θ(g(n))当且仅当g(n)=Θ(f(n))

转置对称性：

f(n)=O(g(n))当且仅当g(n)=Ω(f(n))

f(n)=o(g(n))当且仅当g(n)=w(f(n))

两个函数f和g的渐进比较和两个实数a和b比较之间做一种类比

f(n)=O(g(n)) 类似于a<=b

f(n)=o(g(n)) 类似于a<b

f(n)=Θ(g(n))类似于a=b

f(n)=Ω(g(n)) 类似于a>=b

f(n)=Ω(g(n)) 类似于a>b

三分性 ：对任意两个函数，a和b下列三种情况恰有一种必须成立 a<b ,a=b,或a>b

 但是渐进函数对此不成立：因为，有可能函数┗的值在中间来回摆动，而不是取唯一值

标准记号与常用函数：

单调性，向下取整，向上取整，模运算,指数，对数，阶乘，多重函数，多重对数函数

模运算：对任意整数a 和任意整数n,a mod n的值就是上a  /n的余数

                       a mod n = a - n└╁   a/n ┘

                         0<=a mod n <n

余数相等的特殊记号：若(a mod n )=（b mod n ）则记a≡b(m od n ) 并称 模n 时 a 等价于b

若模n时 a 不等价于b ，则记a ≡/b(mod n)