算法导论第三章函数的增长问题研究

算法导论3.2-5
lg(lg * n)与lg * (lgn)哪个渐近更大些？
先看lg * n怎么定义的。lg * n=min{i>=0:lg(i)n<=1}
假设一个比宇宙原子总数目10^80还要大的数2^65536.
根据多重对数函数定义知道：
当i=1时，第一次lg得  lg2^65536=65536//书中规定log2=lg
当i=2时，第二次lg得  lg65536=lg2^16=16
当i=3时，第三次lg得  lg16=lg2^4=4
当i=4时，第三次lg得  lg4=lg2^2=2
当i=5时，第三次lg得  lg2=lg2^1=1符合定义。
所以lg *2^65536=5 符合书中结论。

n=0,1,2,4时，lg(lg * n)=lg*(lgn)
n>=16时，lg(lg * n)<lg*(lgn)成立。
例如：设n=2^65536;
再看lg(lg * n)=lg5=2.3
而lg*(lgn)=lg*65536=4
所以lg(lg * n)<lg*(lgn)。

由以上分析可知：
先进行多重取对数所得的值，然后再进行对这个值再取对数。(lg(lg * n))
要比 先对此数取一次对数，然后再进行多重对数运算的渐近小(lg*(lgn))

 

 

 

 

算法导论3.2-7

斐波那契数列：0,1,1,2,3,5.... 
证明：对于i>=0,第(i+2)个斐波那契数满足F(i+2)>=φ^i
利用φ=(1+√5)/2 Φ=(1-√5)/2 =>F(i)=(φ^i-Φ^i)/√5
Φ是φ的共轭数。
F(i+2)=(φ^(i+2)-Φ^(i+2))/√5
φ^2=((√5+1)/2)^2=(3+√5)/2
Φ^2=((√5-1)/2)^2=(3-√5)/2
F(i+2)=(φ^i((3+√5)/2)-Φ^i(3-√5)/2)/√5
      =φ^i+((3√5-5)/10)(φ^i-Φ^i)
      =φ^i+((3-√5)/2√5)F(i)  //F(i)=(φ^i-Φ^i)/√5
      因为F(i)>0  (3-√5)/2√5>0 所以F(i+2)>φ^i