URAL 1828. Approximation by a Progression 数学

1828. Approximation by a Progression

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Your are given a sequence of integers a1, …, an. Find an arithmetic progression b1, …, bn for which the value ∑(ai − bi)2 is minimal. The elements of the progression can be non-integral.

Input

The first line contains the number n of elements in the sequence (2 ≤ n ≤ 104). In the second line you are given the integers a1, …, an; their absolute values do not exceed 104.

Output

Output two numbers separated with a space: the first term of the required arithmetic progression and its difference, with an absolute or relative error of at most 10−6. It is guaranteed that the answer is unique for all input data.

Samples

inputoutput

40 6 10 15

0.400 4.900

4-2 -2 -2 -2

-2 0

题意 ： 给定整数数组 ai。求一个等差数列bi。 等差数列bi要能使∑(ai − bi)2  最小的。输出 b1，d。两者可以是小数。

做法：推公式比较麻烦。步骤如下：

为方便计算 设 第零为b0，方差为d。  那么 bi=b0+i*d 。b1=b0+d。

然后带入∑(ai − bi)2

带入 bi=b0+i*d 。得到∑（b0^2+(i*d)^2+2*b0*i*d-2*b0*ai-2*i*d*ai+ai^2）

把b0提出来  得到∑ （b0^2+b0*(2*i*d-2*ai)+(i*d)^2-2*i*d*ai+ai^2）

把d提出来   得到∑ （ i^2*d^2+d*(2*b0*i-2*i*ai)+b0^2-2*b0*ai+ai^2）

可以发现 两个 分别关于 b0 和d 的二元一次函数都是开口向上的。所以极值落在 -b/2a上。

把∑化到括号里面。

设常数 c1 等于∑bi   ，c2 =∑（i*bi）  c3= ∑i   c4=∑i^2   ∑中i都是从1到n的累加

最后可以化简得到 b0的极值点 b0=-b/2a=(-d*c3+c1)/n，d的极值点  d==-b/2a=(-b0*c3+c2)/c4。

这两个二元一次方程。 两个式子，可以解出 d =(（c1*c3）/n-c2)/(c3*c3/n-c4)   b0=(-d*c3+c1)/n

方程里a1就是等于上面的b0.

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h> #include <string>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std; #include <vector> int b[11000];int main(){double n;while(scanf("%lf",&n)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++){cin>>b[i];}//c1 bi hedouble c1=0;for(int i=1;i<=n;i++){c1+=b[i];}//c2 ibi hedouble c2=0;for(int i=1;i<=n;i++){c2+=b[i]*i;}//c3 i hedouble c3=0;for(int i=1;i<=n;i++){c3+=i;}//c4 i^2 hedouble c4=0;for(int i=1;i<=n;i++){c4+=i*i;}double d=1.0*((c1*c3)/n-c2)/((c3*c3)/n-c4);double a=1.0*(-d*c3+c1)/n;a+=d;if(d<0.000001&&d>-0.000001)d=0;printf("%lf %lf\n",a,d);}return 0;}