0-1背包问题(回溯法)

给定n中物品和一个容量为c的背包，物品i的重量为Wi,其价值为Vi,0-1背包问题是如何选择装入背包的物品（物品不可分割），使得装入背包的物品的价值为最大。

1.题目分析：

考虑到每种物品只有2 种选择，即装入背包或不装入背包，并且物品数和背包容量已给定，要计算装入背包物品的最大价值和最优装入方案，可用回溯法搜索子集树的算法进行求解。

2.算法设计：
a. 物品有n种，背包容量为C，分别用p[i]和w[i]存储第i种物品的价值和重量，用
x[i]标记第i种物品是否装入背包，用bestx[i]存储第i种物品的最优装载方案；
b. 用递归函数Backtrack (i,cp,cw)来实现回溯法搜索子集树（形式参数i表示递归深
度，n用来控制递归深度，形式参数cp和cw表示当前总价值和总重量，bestp表示当前
最优总价值）：
① 若i >n，则算法搜索到一个叶结点，判断当前总价值是否最优：
1> 若cp>bestp，更新当前最优总价值为当前总价值（即bestp=cp），更新
装载方案（即bestx[i]=x[i]( 1≤i≤n)）；
② 采用for循环对物品i装与不装两种情况进行讨论（0≤j≤1）：
1> x[i]=j；
2> 若总重量不大于背包容量（即cw+x[i]*w[i]<=c），则更新当前总价 br=""> 值和总重量（即cw+=w[i]*x[i],cp+=p[i]*x[i]）, 对物品i+1调用递归函
数Backtrack(i+1,cp,cw) 继续进行装载；
3> 函数Backtrack(i+1,cp,cw)调用结束后则返回当前总价值和总重量
（即 cw-=w[i]*x[i],cp-=p[i]*x[i]）；
4> 当j>1时，for循环结束；
③ 当i=1时，若已测试完所有装载方案，外层调用就全部结束；
c. 主函数调用一次backtrack(1,0,0)即可完成整个回溯搜索过程，最终得到的bestp和bestx[i]即为所求最大总价值和最优装载方案。

代码1

#include<stdio.h>int n,c,bestp;//物品的个数，背包的容量，最大价值int p[10000],w[10000],x[10000],bestx[10000];//物品的价值，物品的重量，x[i]暂存物品的选中情况,物品的选中情况void Backtrack(int i,int cp,int cw){ //cw当前包内物品重量，cp当前包内物品价值    int j;    if(i>n)//回溯结束    {        if(cp>bestp)        {            bestp=cp;            for(i=0;i<=n;i++) bestx[i]=x[i];        }    }    else         for(j=0;j<=1;j++)          {            x[i]=j;            if(cw+x[i]*w[i]<=c)              {                cw+=w[i]*x[i];                cp+=p[i]*x[i];                Backtrack(i+1,cp,cw);                cw-=w[i]*x[i];                cp-=p[i]*x[i];            }        }}int main(){    int i;    bestp=0;     printf("请输入背包最大容量:\n");    scanf("%d",&c);    printf("请输入物品个数:\n");    scanf("%d",&n);    printf("请依次输入物品的重量:\n");    for(i=1;i<=n;i++)         scanf("%d",&w[i]);    printf("请依次输入物品的价值:\n");    for(i=1;i<=n;i++)         scanf("%d",&p[i]);    Backtrack(1,0,0);    printf("最大价值为:\n");    printf("%d\n",bestp);    printf("被选中的物品依次是(0表示未选中，1表示选中)\n");    for(i=1;i<=n;i++)         printf("%d ",bestx[i]);    printf("\n");    return 0;}

源码版本2

#include <iostream>#define MAX_NUM 5#define MAX_WEIGHT 10using namespace std;//动态规划求解int zero_one_pack(int total_weight, int w[], int v[], int flag[], int n) {  int c[MAX_NUM+1][MAX_WEIGHT+1] = {0}; //c[i][j]表示前i个物体放入容量为j的背包获得的最大价值  // <span style="background-color: rgb(255, 0, 0);">状态转移方程：c[i][j] = max{c[i-1][j], c[i-1][j-w[i]]+v[i]}</span>  //状态转移方程的解释：第i件物品要么放，要么不放  //                 如果第i件物品不放的话,就相当于求前i-1件物体放入容量为j的背包获得的最大价值  //                 如果第i件物品放进去的话,就相当于求前i-1件物体放入容量为j-w[i]的背包获得的最大价值  for (int i = 1; i <= n; i++) {    for (int j = 1; j <= total_weight; j++) {      if (w[i] > j) {        // 说明第i件物品大于背包的重量，放不进去        c[i][j] = c[i-1][j];      } else {        //说明第i件物品的重量小于背包的重量，所以可以选择第i件物品放还是不放          if (c[i-1][j] > v[i]+c[i-1][j-w[i]]) {            c[i][j] = c[i-1][j];          }          else {            c[i][j] =  v[i] + c[i-1][j-w[i]];          }      }    }  }  //下面求解哪个物品应该放进背包  int i = n, j = total_weight;  while (c[i][j] != 0) {    if (c[i-1][j-w[i]]+v[i] == c[i][j]) {      // 如果第i个物体在背包，那么显然去掉这个物品之后，前面i-1个物体在重量为j-w[i]的背包下价值是最大的      flag[i] = 1;      j -= w[i];      //--i; 移到外面去    }--i;  }  return c[n][total_weight];}int main() {  int total_weight = 10;  int w[4] = {0, 3, 4, 5};  int v[4] = {0, 4, 5, 6};  int flag[4]; //flag[i][j]表示在容量为j的时候是否将第i件物品放入背包  int total_value = zero_one_pack(total_weight, w, v, flag, 3);  cout << "需要放入的物品如下" << endl;  for (int i = 1; i <= 3; i++) {    if (flag[i] == 1)      cout << i << "重量为" << w[i] << ", 价值为" << v[i] << endl;  }  cout << "总的价值为: " << total_value << endl;  return 0;}