0-1背包问题回溯法

■回溯法

0-1背包问题是回溯法中的子集选取问题，0-1背包问题的解空间可以用子集树来表示。

设cw为当前重量，w[]为每个物品的重量。在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，即当前重量加该结点的重量小于等于背包容量（cw+w[i]<=c），搜索就进入其左子树。

设上界函数为Bound(int i)，当前最优值为bestp。当右子树中有可能包含最优解时才进入右子树搜索。否则将右子树剪去。右子树中有可能包含最优解的条件是右子树的上界大于当前最优值（Bound(i+1)

>bestp）。

计算右子树上界的方法是将剩余物品依其单位重量价值排序，然后依次装入物品，直至装不下去时，再装入该物品的一部分而装满背包。由此得到的价值是右子树中解的上界。排序用到的算法是哨兵算法。

 

本程序将可选物品定义为一个表来进行运算，比定义数组简洁。

typedef struct{

double p;//物品价值

double w;//物品重量

double v;//物品单位价值

int flag;//物品排序前的位置

}RedType;

typedef struct{

int length;

RedType r[5001];

}SqList;

 

伪代码如下：

int n;//物品数量

double c;//背包容量

int x[5001]={0};//物品是否放入标志

double bestp=0;//当前最优价值

double cp=0;//当前价值

double cw=0;//当前重量

void sort()

{

   .../*利用哨兵法，将物品按单位价值L.r[i].v排序*/

}

int Bound(int i)/*上界函数*/

{

   int cleft=c-cw;/*剩余容量*/

   while(i<=n&&L.r[i].w<=cleft)/*以物品单位价值递减序装入物品*/

   {

        cleft-=L.r[i].w;

        i++;

    }

   .../*将背包完全满*/

   return;/*返回上界*/

}

void Backtrack(int i)//回溯函数

{

    if(i>n)/*到达叶子结点*/

    {

       bestp=cp;

       return;

    }

    

    if(cw+L.r[i].w<=c)/*进入左子树*/

    {

        cw+=L.r[i].w;

        cp+=L.r[i].p;

        x[i]=1;/*将标记x记为1*/

        Backtrack(i+1);

        cw-=L.r[i].w;

        cp-=L.r[i].p;

    }

    

    if(Bound(i+1)>bestp)/*进入右子树*/

        Backtrack(i+1);

}

int main()

{

   ... /*输入数据*/

   sort();/*对输入的数据按物品单位价值排序*/ 

   Backtrack(1);/*从第一层开始搜索*/

   for(i=1;i<=n;i++) /*输出结果*/

     for(j=1;j<=n;j++)

      if(L.r[j].flag == i)

       {

          printf("%d %d\n",i,x[j]);

        break;

     }

   printf("%g\n",bestp);

 

}

 

主程序在输入数据后，调用sort()函数对输入的数据按物品单位价值排序，再调用Backtrack(1)函数从第一层开始递归搜索，最后输入数据。