图像几何变换

来源：互联网发布：手机知乎怎么回答问题编辑：程序博客网时间：2024/05/16 08:00

图像的集合变换

一、放射变换

最为常用的几何变换都是线性变换，这包括旋转、缩放、切变、反射以及正投影。在二维空间中，线性变换可以用 2×2 的变换矩阵表示。

1.旋转变换

绕原点逆时针旋转 θ 度角的变换公式是 $x' = x \cos \theta - y \sin \theta$ 与 $y' = x \sin \theta + y \cos \theta$ ，用矩阵表示为：

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

2.伸缩变换

缩放公式为 $x' = s_x \cdot x$ 与 $y' = s_y \cdot y$ ，用矩阵表示为：

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

3.错切变换

错切变换公式： x = x0 + b*y0; y = d*x0 + y0; b,d分别是x,y平移的分量

Shear-Table

用矩阵乘法表示变换为： Shear-Matrix

4.平移变换

矩阵乘法表示变换。 $x' = x + t_x$ ; $y' = y + t_y$ 变为

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$

二、图像插值放大

1.最邻近插值（近邻取样法）：
　　最临近插值的的思想很简单。对于通过反向变换得到的的一个浮点坐标，对其进行简单的取整，得到一个整数型坐标，这个整数型坐标对应的像素值就是目的像素的像素值，也就是说，取浮点坐标最邻近的左上角点对应的像素值。可见，最邻近插值简单且直观，但得到的图像质量不高。

2.双线性内插值：
　　对于一个目的像素，设置坐标通过反向变换得到的浮点坐标为(i+u,j+v)，其中i、j均为非负整数，u、v为[0,1)区间的浮点数，则这个像素得值 f(i+u,j+v) 可由原图像中坐标为 (i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)所对应的周围四个像素的值决定，即：

　　　　f(i+u,j+v) = (1-u)(1-v)f(i,j) + (1-u)vf(i,j+1) + u(1-v)f(i+1,j) + uvf(i+1,j+1)

其中f(i,j)表示源图像(i,j)处的像素值，以此类推。
　　这就是双线性内插值法。双线性内插值法计算量大，但缩放后图像质量高，不会出现像素值不连续的的情况。由于双线性插值具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。

3.三次卷积法
能够克服以上两种算法的不足，计算精度高，但计算亮大，他考虑一个浮点坐标(i+u,j+v)周围的16个邻点，目的像素值f(i+u,j+v)可由如下插值公式得到：

　　　　f(i+u,j+v) = [A] * [B] * [C]

[A]=[ S(u + 1)　S(u + 0)　S(u - 1)　S(u - 2) ]

　　┏ f(i-1, j-1)　f(i-1, j+0)　f(i-1, j+1)　f(i-1, j+2) ┓
[B]=┃ f(i+0, j-1)　f(i+0, j+0)　f(i+0, j+1)　f(i+0, j+2) ┃
　　┃ f(i+1, j-1)　f(i+1, j+0)　f(i+1, j+1)　f(i+1, j+2) ┃
　　┗ f(i+2, j-1)　f(i+2, j+0)　f(i+2, j+1)　f(i+2, j+2) ┛

　　┏ S(v + 1) ┓
[C]=┃ S(v + 0) ┃
　　┃ S(v - 1) ┃
　　┗ S(v - 2) ┛

　　 ┏ 1-2*Abs(x)^2+Abs(x)^3　　　　　 , 0<=Abs(x)<1
S(x)=｛ 4-8*Abs(x)+5*Abs(x)^2-Abs(x)^3　, 1<=Abs(x)<2 其中 S(x)是对 Sin(x*Pi)/x 的逼近（Pi是圆周率——π）
　　 ┗ 0　　　　　　　　　　　　　　　 , Abs(x)>=2

最邻近插值（近邻取样法）、双线性内插值、三次卷积法等插值算法对于旋转变换、错切变换、一般线性变换和非线性变换都适用。

三、编程实现

Java类库内置方法实现了图像几何变换有：旋转，缩放，错切和平移等变换，图像放大使用的算法是最临近插值方法，下面自己实现的算法进行实验，至于Java内置的方法通过调用Graphics2D相关函数设置参数就可以完成，可以查看相应文档。

1.旋转

旋转代码