概率随机3（对极限定理的认识）

对于确定的量，比如一个班上的人数，桌子上面有5个苹果之类的。都是比较确定的事情，是已经存在的。概率所研究的是不确定性量和不可准测量，不确定量代表的是没有发生的事情，及随机事件（严格来讲，概率研究的是不确定性中的一种，即在一定结果范围内的不确定性）。而不可准测量代表的是虽然量有准确值，但由于技术或者操作因素，无法测得其真实值，比如一支笔的长度，理论上你是不可能测得其真实值的。总结起来有以下三种情况：

1）抛硬币所代表的随机试验。
2）样本与总体之间的问题
3）近似值与真实值
当然，在现实中，以上3类问题中还常常交织在一起。

对于第1类问题，确定了一种关系，就是频率与概率的关系。本质上也是一种测量问题，因为频率是容易求得的，而真实的概率（真实值）不容易获得。但在实际中应用中，我们经常利用频率替代概率。但从逻辑上来说，这显然是不够严谨的，似乎缺少必要的公理。而强大数定理就是用来解决这个问题的。在随机试验次数n趋于无穷大时，频率稳定于概率。当然实际应用中，n并不需要真趋于无穷大。

对于第2类问题反映的是在无法对总体进行研究的情况下（比如总体是无限的，而人类的能力和精力都是有限的，或者太多，测量成本上不划算等），我们只能取其中一部分（样本）来做研究，通过对样本的研究达到对总体的研究。这就产生了一个问题，就是通过对样本的研究能不能替代对整体的研究。答案当然是大多数情况下都是可以的，因为我们经常这么做。不过从科学的严谨上来说，我们还是需要能证明这种方式是可以的。而极限定理就是这种研究行为的理论基础。当然，需要说明的是，不是所有的样本都能替代总体进行研究的。极限定理的两个基本条件是：独立，随机。这其实就提出了为研究总体而取样本的方式是有条件的。

对于第3类问题，反映的是既然真实值没法获得，那就用近似值替代，特别是多次测量的平均值替代。这也是我们经常干的事情，多测几次，取个平均值，就代替真实值。这又不可避免的产生了一个问题，这个平均值毕竟只是个近似值，能代替真实值做一些事情么？说不行肯定不行了。这个问题同样依赖于极限定理。虽然用测量平均值替代真实值有了理论基础，但需要特别注意的是，测量误差必须是随机的，非故意的。这个假设非常重要，如果你的测量不满足这种情况，极限定理是不会为你支撑的。

这些看似无法证明的东西，哪些“家”都能搞出定理来证明，也确实只能佩服。不过想想也是，虽然概率研究的是不确定性，但毕竟这种不确定性是有规律的，至少其结果范围是知道的。如果什么都不知道呢？

记：这段时间看书任务量非常大，所以写得比较少。等知识重构完成后，会继续分享心得。