畅通工程（并查集的运用）

题目描述如下：

某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。问最少还需要建设多少条道路？

输入：第一行给出两个整数， 分别是城镇数目N(<1000)和道路数目M, 随后的M行对应着M条道路，每行给出一对正整数。， 分别表示这条道路连通的两个城市的编号。 为简单起见， 城镇编号从1到N。 注意， 两个城市之间可以有多条道路联通。 如下：

3 31 21 22 1

当N为0时， 输入结束， 该例子不用处理。 输入文件如下：

4 2 1 3 4 33 3 1 21 3 2 3 5 2 1 2 3 5999 0 

输出文件如下：

0 2 998 

分析：

该题考察的是并查集的运用。 即求整幅图的连通性问题。 也就是说， 这幅图有几个联通分支。

如果是一个连通分量， 说明整幅图的点都连接起来了， 不用再修路了。 如果有两个连通分量， 则只需要修一条路。 从这两个连通分量中分别任意选取一个点 ， 连接起来即可。 如果有n 个连通分量， 只需再修n -1 条路即可。

下面利用并查集合求解如下：

#include <iostream>#include <fstream>using namespace std;const int MAX = 1000 + 5;int parent[MAX];void Make_Set(int N) {    for(int i = 1; i <= N; ++i) {        parent[i] = i;    }}int Find_Set(int x) {    while(parent[x] != x) { // 找到x 所在集合的代表元素        x = parent[x];    }    return x;}void UNION(int x, int y) {    int rootX = Find_Set(x);    int rootY = Find_Set(y);    if(rootX != rootY) {        parent[rootX] = rootY;    }}int main() {    int N, M, x, y, res;    ifstream input("in.txt");    ofstream output("out.txt");    while(input >> N >> M) {        Make_Set(N);        for(int i = 1; i <= M; ++i) {            input >> x >> y;            UNION(x, y);        }        res = 0;        for(int i = 1; i <= N; ++i) { // 统计连通分量个数            if(parent[i] == i) {                res++;            }        }        output << res - 1 << endl;    }    return 0;}

运行结果如下：

优化办法：

对于并查集， 有两种优化策略。 

优化策略1： 按秩合并策略。 这一优化是针对合并的。 作用是避免了合并时产生糟糕的情况。 方法是将深度小的树合并到深度达的树。

假设两个树的深度分别为 h1 和 h2， 则合并后树的高度h 如下：

if(h1 != h2) max(h1, h2)

if(h1 == h2) h1 + 1

效果是使得合并之后， 包含k个节点的树的最大高度不超过 floor(logk)。

进一步优化： 优化策略是路径压缩。 是针对Find进行优化的。 通过路径压缩， 可以减少每次寻找根节点的次数， 使得我们的树更加的flat。

步骤： 第一步找到根节点

             第二步， 修改查找路径上的所有节点， 将他们只想根节点。

优化之后的程序如下：

#include <iostream>#include <fstream>using namespace std;const int MAX = 1000 + 5;struct Node {    int parent;    int Rank;};Node node[MAX];void Make_Set(int N) {    for(int i = 1; i <= N; ++i) {        node[i].parent = i;        node[i].Rank = 0;    }}int Find_Set(int x) { // 查找所属集合并压缩搜索路径    if(x == node[x].parent) { // 找到x 所在集合的代表元素        return x;    }    else        node[x].parent = Find_Set(node[x].parent);    return node[x].parent;}void UNION(int x, int y) {    int rootX = Find_Set(x);    int rootY = Find_Set(y);    if(rootX == rootY) return; // 同一个集合中    else {        if(node[rootX].Rank == node[rootY].Rank) {            node[rootX].parent = rootY;            node[rootY].Rank++;        }        else if(node[rootX].Rank > node[rootY].Rank)            node[rootY].parent = rootX;        else            node[rootX].parent = rootY;    }}int main() {    int N, M, x, y, res;    ifstream input("in.txt");    ofstream output("out.txt");    while(input >> N >> M) {        Make_Set(N);        for(int i = 1; i <= M; ++i) {            input >> x >> y;            UNION(x, y);        }        res = 0;        for(int i = 1; i <= N; ++i) { // 统计连通分量个数            if(node[i].parent == i) {                res++;            }        }        output << res - 1 << endl;    }    return 0;}

运行后结果同上。