二叉树

定义

最多有两棵子树的有序树，称为二叉树。二叉树是一种特殊的树。

递归定义：二叉树是n(n>=0)个有限结点构成的集合。N=0称为空二叉树；n>0的二叉树由一个根结点和两互不相交的，分别称为左子树和右子树的二叉树构成。

二叉树中任何结点的第1个子树称为其左子树，左子树的根称为该结点的左孩子；二叉树中任何结点的第2个子树称为其右子树，左子树的根称为该结点的右孩子。如下图是一个二叉树：

图1.二叉树

满二叉树和完全二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且叶子结点都在同一层上，这样的二叉树称作满二叉树。一棵深度为k且由2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。

如果一棵具有n个结点的二叉树的结构与满二叉树的前n个结点的结构相同，这样的二叉树称作完全二叉树。

图2. 满二叉树和完全二叉树

基本性质

这里规定二叉树的根结点的层次为1。

性质1：则二叉树的第i 层最多有2i-1个结点（在此二叉树的层次从1开始，i≥1）

性质2：深度为k的二叉树最多有2^k-1个结点。(k≥1)

性质3：对任何一棵二叉树T, 如果其叶结点个数为n0, 度为2的非叶结点个数为n₂, 则有

             n0 = n₂ + 1

性质4：具有 n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为⎣log₂n⎦+1；⎦x⎦表示不超过x的最大整数。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第⎣l og2n⎦ +1层，每层从左到右）,则对任一结点i（1≤i≤n),有：

(1)如果i=1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1，则其双亲是结点⎣i/2⎦。

(2) 如果2i<=n, 则结点i的左孩子结点是2i；否则，结点i为叶子结点，无左孩子结点。

(3)如果2i＋1<=n，则结点i的右孩子是结点2i＋1; 否则，结点i为叶子结点，无右孩子结点。

二叉树的遍历

 二叉树的遍历是指按照一定的次序访问树中所有结点，并且每个结点只被访问一次的过程。

通常的遍历有三种方式，分别是：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

假设根结点、左孩子结点和右孩子结点分别用D、R、L表示，则前序遍历、中序遍历和后序遍历的顺序分别为DLR、LDR、LRD。所谓访问某结点，一般指对结点中的数据进行某种操作。

前序递归遍历

        规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为ABDGHCEIF。

 

中序递归遍历

      规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意这里并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为：GDHBAEICF。

后序递归遍历

       规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。遍历的顺序为：GHDBIEFCA。