中国余数定理

一、维基百科点击打开链接

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

                                             有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

求解方法：

1）是除了m_i以外的n - 1个整数的乘积。

   三个模数m₁3, m₂5, m₃7的乘积是M105，对应的M₁35, M₂21, M₃15. 

2）计算出相应的数论倒数：

   则求得 t₁2, t₂1, t₃1.

3）

        35×2=70   21×1=21  15×1=15

4）3）得到的结果与对应的余数相乘，结果相加

       70×2 + 21×3 + 15×2 = 233

5）解的形式

     

《孙子算经》中实际上给出了最小正整数解，也就是k=-2时的解：x=23.

二、下面看看一种比较感性的解法

       分三步：
       1. 找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数(15)，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数(21)，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数(21)。
       2. 用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加(15*2+21*3+70*2)得到和233。 

       3. 用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

       数学原理：

       首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。
     有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？
     这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。
     以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：
    为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
    为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
    为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。
    

    因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：
    n1除以3余2，且是5和7的公倍数。
    n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
    n3除以7余2，且是3和5的公倍数。
   

    所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。
    这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。
    最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

    经过分析发现，中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧，就是以下两个基本数学定理的灵活运用：
    如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
    如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。

三、POJ 1006

        问题分析首先我们要知道，任意两个峰值之间一定相距整数倍的周期。假设一年的第N天达到峰值，则下次达到峰值的时间为N+Tk(T是周期，k是任意正整数)。所以，三个峰值同时出现的那一天(S)应满足
        S = N1 + T1*k1 = N2 + T2*k2 = N3 + T3*k3
        N1,N2,N3分别为为体力，情感，智力出现峰值的日期， T1，T2,T3分别为体力，情感，智力周期。 我们需要求出k1,k2,k3三个非负整数使上面的等式成立。想直接求出k1,k2,k3貌似很难，但是我们的目的是求出S， 可以考虑从结果逆推。根据上面的等式，S满足三个要求：除以T1余数为N1，除以T2余数为N2，除以T3余数为N3。这样我们就把问题转化为求一个最小数，该数除以T1余N1，除以T2余N2,除以T3余N3。这就是著名的中国剩余定理，我们的老祖宗在几千年前已经对这个问题想出了一个精妙的解法。依据此解法的算法，时间复杂度可达到O(1)。