【多重背包】二进制优化 && 单调队列优化 && w == v 的特殊情况的处理

为了弥补之前没有好好学的背包 = = 花了一下午来研究这个神奇的东西。。。

当时觉得背包九讲好多东西根本看不懂啊各种跪啊其实现在看来也还好啊 = =唉。。当初真的太水了

（PS：我依旧还是没觉得noip2014D1T3是个背包）

其实其他的都没什么好说的。。

01背包和完全背包就是枚举顺序问题 分组背包和依赖背包其实都可以看成是泛化物品 当然多重背包其实也是……

不过多重背包因为复杂度可以优化所以有点研究价值。。。。

裸的多重背包的复杂度是V * sigma(Mi)..就是N * M * V。。N = 100 M = 100 V = 1000 大概这样？

嗯。。先考虑二进制优化。。。当时听的时候一直不懂为什么每个数都能被拆成几个2^i的和 其实特别显然 = = 就是表示成二进制数啊！

对于一个体积为v 价值为w 数量为v 的物品 分别对 { (2^i) * v, (2^i) * w } ( i = 1, 2, 3... k 且 2^k < M ) 做01背包 最后再对剩余的 M - 2^k 做一次01背包。。  

那么物体被分成了logM份。。所以复杂度变成了V * sigma(logMi) 。。大部分题应该都可以过了。。

void MultiplePack(int value,int weight,int num)  {      if (value * num >= m) CompletePack(value, weight);      else      {          int k = 1;          while (k <= num)          {              ZeroOnePack(k * value,k * weight);              num -= k; k <<= 1;          }          ZeroOnePack(num * value, num * value);      }  }  

然后是单调队列优化。。。

首先多重背包的递推方程是这样的 F[i][j] = max { F[i - 1] [j - k * v[i] ] + k * w[i] }  (0 <= k <= m[i])  

令d = v[i]  a = j / v[i]  b = j % v[i]  

F[i][j] = max { F[i - 1] [j - k * d ] + k * w[i] }  (0 <= k <= m[i])  

F[i][j] = max { F[i - 1] [a * d + b - k * d ] + k * w[i] }  (0 <= k <= m[i])  

F[i][j] = max { F[i - 1] [(a - k) * d + b] + k * w[i] }  (0 <= k <= m[i])  

令 h = a - k

F[i][j] = max { F[i - 1] [h * d + b] + (a - h) * w[i] }  (0 <= k <= m[i])  

F[i][j] = max { F[i - 1] [h * d + b] - h * w[i] } + a * w[i]  (0 <= k <= m[i])  

对于一个确定的i, j。a和b都是确定的 并且我们发现对于确定的i a和b的数量是不会超过v[i]的

那么就把j按a或者b分成v[i]组 每组的转移就是连续的 然后就可以单调队列优化了O(∩_∩)O

这个代码我也不知道是不是对的！码了也没交过题！仅供参考！

struct queue{    int num[Nmax];    int head, tail;        inline void init() { head = 0; tail = -1; }    inline void push_back(int a){ num[++tail] = a; }    inline void pop_back() { --tail; }    inline void pop_front() { ++head; }    inline int front() { return num[head]; }    inline int back() { return num[tail]; }    inline int size() { return tail - head + 1; }}q;int N, V;int w[Nmax], v[Nmax], m[Nmax];int F[Nmax], f[Nmax];inline void MultiPack(){    for (int i = 1; i <= N; ++i) {        for (int j = 0; j < v[i]; ++j) {            q.init();            for (int k = j, i = 0; k <= V; k += v[i], ++i) {                while (q.front() + m[i] < k) q.pop_front();                F[k] = f[k] - i * w[i]; f[k] = F[q.front()] + i * w[i];                while (F[q.back()] <= F[k]) q.pop_back();                q.push_back(k);            }        }    }}

至于w == v的时候。。

我们可以直接把状态改了 f[i][j]表示对于前i种物品剩余j的空间 的第i种物品剩余的最大值 = =

那么转移：

当f[i - 1][j] > 0时 f[i][j] = m[i] 其余时候 f[i][j] = f[i][j - v[i]] - 1 （保证合法，不合法用-1表示就行了。。）

然后最后从小到大枚举j就得到找到一个合法的f[N][j]就行了。。。

一道例题是 poj1742 Coins 

传说中的男人八题之一啊= = 哦不我是妹子啊！！！

有n种硬币 每种价值Ai 有Ci个 然后求总价值小于m的组合方案数

照上面的求就可以了。。。

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;const int Nmax = 105;const int Mmax = 100005;int N, M;int A[Nmax], C[Nmax];int f[Mmax];int main(){    ios :: sync_with_stdio(false);    while (cin >> N >> M && N) {        for (int i = 1; i <= N; ++i) cin >> A[i];        for (int i = 1; i <= N; ++i) cin >> C[i];                memset(f, -1, sizeof(f)); f[0] = 0;        for (int i = 1; i <= N; ++i) {            for (int j = 0; j <= M; ++j) {                if (f[j] >= 0) f[j] = C[i];                else if(f[j - A[i]] == -1 || j < A[i]) f[j] = -1;                else f[j] = f[j - A[i]] - 1;            }        }                int ans = 0;        for (int i = 1; i <= M; ++i) if (~f[i]) ++ans;        printf("%d\n", ans);    }    return 0;}