【斐波拉契+数论+同余】【ZOJ3707】Calculate Prime S

题目大意：

S[n] 表示 集合{1,2,3,4,5.......n} 不存在连续元素的子集个数

Prime S 表示S[n]与之前的所有S[i]互质;

问 找到大于第K个PrimeS 能整除X 的第一个S[n]

并且 输出(S[n]/X)%M

1.斐波拉契阶段

很容易写出S[n]的各个值发现是斐波拉契数列

2 3 5 8 13 21 34

2.斐波拉契性质

gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m)) （从1开始计算的即 1 1 2 3 5 8序列）

所以只有当 gcd(n,m)=1或2时  fib[n]与fib[m]互质

S[n]=fib[n+2] 

所以若S[n] 要是一个 PrimeS

则n+2必须是一个质数或者4 ，自己画画就知道为什么4是特殊的了

所以构造一个特殊的素数表

P[i]  3 4 5 7 11 13...................

所以第K个PrimeS 就是fib[P[k]]

3.如何寻找整除X的数

从 fib[P[k]开始一个一个找 使得fib[P[k]]%X==0 的数即可

记录ansi=i；

4.同余公式的引用

(a/b)%c=（a%（b*c））/b

根据ansi 计算即可

代码如下：

/*    TLE 1次    没注意1000000个质数 maxn 至少要1600W*/#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <ctime>#include <algorithm>#include <iostream>#include <sstream>#include <string>#define oo 0x13131313#define LL long longusing namespace std;const int maxn=16000001;int K,X,M;int p[2000001],tot=0;bool yn[maxn];struct node{    LL mat[3][3];};node matmult(node a,node b,int mod){    node c;    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));    for(int i=1;i<=2;i++)        for(int j=1;j<=2;j++)            for(int k=1;k<=2;k++)            c.mat[i][j]=(c.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod;    return c;}node quickmatpow(node a,int n,int mod){    node c;    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));    c.mat[1][1]=1;c.mat[1][2]=0;c.mat[2][1]=0;c.mat[2][2]=1;    while(n!=0)    {        if(n&1==1) c=matmult(c,a,mod);        a=matmult(a,a,mod);        n=n>>1;    }    return c;}void get_prime(){     for(int i=2;i<maxn;i++)     {      if(yn[i]==false)      {          p[++tot]=i;          for(int j=i;j<maxn;j=j+i)          yn[j]=true;      }     }   //  printf("%d\n",tot);    p[1]=3;    p[2]=4;}void init(){    freopen("a.in","r",stdin);    freopen("a.out","w",stdout);}int main(){  //  init();    get_prime();int T;cin>>T;while(T--)    {        int ansi;        int temp;        node a,c;        memset(a.mat,0,sizeof(a.mat));        memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));        a.mat[1][1]=1,a.mat[1][2]=1,a.mat[2][1]=1,a.mat[2][2]=0;        scanf("%d%d%d",&K,&X,&M);        for(int i=p[K];;i++)        {            c=quickmatpow(a,i-2,X);            temp=((c.mat[1][1]+c.mat[1][2]))%X;           if(temp==0)            {                ansi=i;                break;            }        }            c=quickmatpow(a,ansi-2,M*X);            temp=((c.mat[1][1]+c.mat[1][2]))%(M*X);        printf("%d\n",temp/X);    }    return 0;}