先验概率,似然概率,后验概率
来源:互联网 发布:半导体工艺模拟软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/16 19:38
先验概率
Prior probability
在贝叶斯统计中,先验概率分布,即关于某个变量 p 的概率分布,是在获得某些信息或者依据前,对 p 的不确定性进行猜测。例如, p 可以是抢火车票开始时,抢到某一车次的概率。这是对不确定性(而不是随机性)赋予一个量化的数值的表征,这个量化数值可以是一个参数,或者是一个潜在的变量。
先验概率仅仅依赖于主观上的经验估计,也就是事先根据已有的知识的推断,
在应用贝叶斯理论时,通常将先验概率乘以似然函数(likelihoodfunction)再归一化后,得到后验概率分布,后验概率分布即在已知给定的数据后,对不确定性的条件分布。
似然函数
似然函数(likelihood function),也称作似然,是一个关于统计模型参数的函数。也就是这个函数中自变量是统计模型的参数。对于结果 x ,在参数集合 θ 上的似然,就是在给定这些参数值的基础上,观察到的结果的概率 L(θ|x)=P(x|θ) 。也就是说,似然是关于参数的函数,在参数给定的条件下,对于观察到的 x 的值的条件分布。
似然函数在统计推测中发挥重要的作用,因为它是关于统计参数的函数,所以可以用来评估一组统计的参数,也就是说在一组统计方案的参数中,可以用似然函数做筛选。在非正式的语境下,“似然”会和“概率”混着用;但是严格区分的话,在统计上,二者是有不同。
不同就在于,观察值 x 与参数 θ 的不同的角色。概率是用于描述一个函数,这个函数是在给定参数值的情况下的关于观察值的函数。例如,已知一个硬币是均匀的(在抛落中,正反面的概率相等),那连续10次正面朝上的概率是多少?这是个概率。
而似然是用于在给定一个观察值时,关于用于描述参数的情况。例如,如果一个硬币在10次抛落中正面均朝上,那硬币是均匀的(在抛落中,正反面的概率相等)概率是多少?这里用了概率这个词,但是实质上是“可能性”,也就是似然了。
后验概率
Posterior probability
后验概率是关于随机事件或者不确定性断言的条件概率,是在相关证据或者背景给定并纳入考虑之后的条件概率。后验概率分布就是未知量作为随机变量的概率分布,并且是在基于实验或者调查所获得的信息上的条件分布。“后验”在这里意思是,考虑相关事件已经被检视并且能够得到一些信息。
后验概率是关于参数 θ 在给定的证据信息 X 下的概率: p(θ|x) 。
若对比后验概率和似然函数,似然函数是在给定参数下的证据信息 X 的概率分布: p(x|θ) 。
二者有如下关系:
我们用 p(θ) 表示概率分布函数,用 p(x|θ) 表示观测值 x 的似然函数。后验概率定义如下:
p(θ|x)=p(x|θ)p(θ)p(x)
鉴于分母不变,可以表达成如下正比关系:
Posteriorprobability∝Likelihood×Prior probability
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