数学基础:矩阵
来源:互联网 发布:css源码 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 07:12
矩阵的概念:
数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。
如下是一个m×n的矩阵(m行n列):
Am×n=(aij)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
同型矩阵:
如果,矩阵
Am×n 和矩阵Bm×n 都是m×n的矩阵,则这两个矩阵为同型矩阵。
矩阵相等:
如果矩阵
Am×n 和矩阵Bm×n 互为同型矩阵,并且对应元素相等aij =bij 。则两个矩阵相等。
行向量与列向量:
行向量是一个 1×n的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的行所组成:
α=(a1,a2,⋯,an)=[a1a2⋯an]
列向量是一个 n×1 的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的列所组成。(列向量的转置是一个行向量,反之亦然):β=αT=(a1,a2,⋯,an)T=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1a2⋮an⎤⎦⎥⎥⎥⎥
方阵(n阶矩阵):
n行n列的矩阵是一个方阵,也叫做n阶矩阵,如
An :An×n=(aij)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
零矩阵:
所有元素都是0的矩阵。
单位矩阵(E):
主对角元素为1,其他元素为0的方阵是单位矩阵,如
En :En=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜10000100⋯⋯⋱⋯00⋮1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
数量矩阵(kE):
主对角元素为K,其他元素为0的方阵是数量矩阵(就是一个数乘以一个单位矩阵),如
kEn :En=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜k0000k00⋯⋯⋱⋯00⋮k⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
对角矩阵:
主对角是非零元素但未必相同,其他元素为0的方阵是对角矩阵,如
λn :λn=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜λ10000λ200⋯⋯⋱⋯00⋮λn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
矩阵的计算:
矩阵相加:
在同型矩阵中。两个m×n矩阵A和B的和,标记为A+B,得到的仍一是个m×n矩阵,其内的各元素为其相对应元素相加后的值。例如:
⎡⎣⎢111302⎤⎦⎥+⎡⎣⎢072051⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1+01+71+23+00+52+1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢183353⎤⎦⎥
矩阵相减:
A-B内的各元素为其相对应元素相减后的值:
⎡⎣⎢111302⎤⎦⎥−⎡⎣⎢072051⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1−01−71−23−00−52−1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1−6−13−51⎤⎦⎥
矩阵相乘:
当矩阵A的列数和矩阵B的行数相等时才有意义。
如Am×n ,Bn×p ,因为A的列(n)和B的行(n)相同,所以他们可以相乘,它们的乘积为ABm×p ;例如
A2×3 ×B3×2 :[1−10321]×⎡⎣⎢321110⎤⎦⎥=[(1×3+0×2+2×1)(−1×3+3×2+1×1)(1×1+0×1+2×0)(−1×1+3×1+1×0)]=[5412]
- 乘法不满足交换律 : AB ≠ BA;
- 乘法结合律 : (AB)C=A(BC);
- 乘法分配律: A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;
- 乘法和数乘结合律: λ(AB)=(λA)B=A(λB);
- 单位矩阵满足: AE=EA=A;
- 零矩阵满足:
0m×nAs×n=0m×n ,As×n0n×t=0s×t ;
矩阵转置:
把矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵,叫做A的转置矩阵,记作
AT A2×3=(142536),AT=⎛⎝⎜123456⎞⎠⎟3×2
(AT)T=A (A+B)T=AT+BT (λA)T=λAT (AB)T=BTAT
方阵的幂运算:
An×Am=An+m (An)m=Anm A0=E(单位矩阵)
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