数据结构学习笔记--AVL树

来源：互联网发布：通过蓝牙共享网络编辑：程序博客网时间：2024/05/22 13:59

好久没更新了，今天来讲二叉树的一个重要应用：二叉搜索树。这次介绍的是平衡二叉树(也叫AVL树),刚开始本来想自己写这篇文章的，书上关于AVL树这里讲得很复杂(我是看了半天才看懂)。好了，废话少说，一起来看吧~

平衡二叉树(AVL树)

这个恐怕是整个《数据结构》教科书里面最难的和最“没用”的数据结构了(现在的教科书还有部分算法内容)。说它没用，恰恰是因为它太有用——有着和普通的二叉搜索树完全一样的接口界面，绝大多数情况下比普通的二叉搜索树效率高(很多)。因此，通常情况下，人们都是一劳永逸的——写完后就重用，而不会再写了。所以说，你虽然学完了平衡二叉树，但很可能你永远也不会亲自写一个。你现在随便在身边拉个人，让他来写一个，能顺利的写出来的恐怕不多，玩笑之词，且勿当真。

在开始写之前，我很担心，能不能把这部分写清楚，毕竟书上满天的switch…case，并且还只是一半——有左旋没有右旋，有插入没有删除。后来，我变得有信心了——因为书上都没有说清楚，都在那里说梦话。我没有找到AVL树的发明者的原著(G. M. Adelson-Velskii and Y. M. Landis. An algorithm for the organization of information. Soviet Math. Dokl., 3:1259--1262, 1962.)也不知道我下面所写的是不是体现了发明者的本意，但至少，我认为现在的教科书歪曲了发明者的本意。

基本概念

Ø 平衡

下面的引文出自Algorithms and Data Structures(Niklaus Wirth, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1986 ISBN: 0-13-022005-1 pp. 215–226）

One such definition of balance has been postulated by Adelson-Velskii and Landis [4-1]. The balance criterion is the following:

A tree is balanced if and only if for every node the heights of its two subtrees differ by at most 1.

Trees satisfying this condition are often called AVL-trees (after their inventors). We shall simply call them balanced trees because this balance criterion appears a most suitable one. (Note that all perfectly balanced trees are also AVL-balanced.)

The definition is not only simple, but it also leads to a manageable rebalancing procedure and an average search path length practically identical to that of tbe perfectly balanced tree.

科技文都比较好懂，本人翻译水平比较差，就不献丑了，我只想让大家注意最后一段的画线部分，平衡化应该是易于操作的，而绝不是现在你在书上看到的铺天盖地的switch…case。

Ø 旋转

平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点(其中一个可能是外部节点NULL)，旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right一定不为空，右旋的时候p->left一定不为空，这是显而易见的。

可以看到，左旋确实是在向“左”旋转，还是很形象的。右旋是左旋的镜像，就不再另行说明了。下表是左旋和右旋各个节点的指针变换情况。(括号表示NULL的情况不执行)

左旋

右旋

t->parent = p->parent

p->parent = t

t->parent = p->parent

p->parent = t

(t->left->parent = p)

p->right = t->left

(t->right->parent = p)

p->left = t->right

t->left = p

p = t

t->right = p

p = t

Ø 平衡因子（bf——balance factor）

AVL树的平衡化靠旋转，而是否需要平衡化，取决于树中是否出现了不平衡。为了避免每次判断平衡时，都求一下左右子树的高度，引入了平衡因子。很可能是1962年的时候AV&L没有亲自给出定义，时下里平衡因子的定义乱七八糟——我看了4本书，两本是bf ＝左高－右高，两本是bf ＝右高－左高。最有意思的是两本中国人(严蔚敏和殷人昆)写的一本左减右，一本右减左；两本外国人写的也是这样。虽然没什么原则上的差别，可苦了中国的莘莘学子们——考试的时候可不管你是哪个门派的。我照顾自己的习惯，下面的bf = 左高－右高，习惯不同的请自己注意。

这样一来，是否需要平衡化的条件就很明了了——|bf| > 1。如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。

插入和删除

在AVL树插入和删除，实际上就是先按照普通二叉搜索树插入和删除，然后再平衡化。可以肯定的说，插入和删除需要的最多平衡化次数不同(下面会给出根本原因)，但这不表明插入和删除时的平衡化的思路有很大差别。现有的教科书，仅仅从表面上看到了到了平衡化操作次数不同的假象，而没有从根本上认识到插入和删除对称的本质，搞得乱七八糟不说(铺天盖地的switch…case)，还严重的误导了读者——以为删除操作复杂的不可捉摸。

AVL树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操作，没理由会有那么大的差别。实际上，平衡化可以统一的这样来操作：

1．while (current != NULL)修改current的平衡因子。

Ø 插入节点时current->bf += (current->data > *p)?1:-1;

Ø 删除节点时current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;

Ø current指向插入节点或者实际删除节点的父节点，这是普通二叉搜索树的插入和删除操作带来的结果。*p初始值是插入节点或者实际删除节点的data。因为删除操作可能实际删除的不是data。

2．判断是否需要平衡化

if (current->bf == -2) L_Balance(c_root); else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);

3．是否要继续向上修改父节点的平衡因子

Ø 插入节点时if (!current->bf) break;这时，以current为根的子树的高度和插入前的高度相同。

Ø 删除节点时if (current->bf) break;这时，以current为根的子树的高度和删除前的高度相同

Ø 之所以删除操作需要的平衡化次数多，就是因为平衡化不会增加子树的高度，但是可能会减少子树的高度，在有有可能使树增高的插入操作中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操作中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡。

4．当前节点移动到父节点，转1

p = &(current->data); current = current->parent;

完整的插入删除函数如下：

bool insert(const T &data) {
    if (!BSTree<T>::insert(data)) return false;
    const T* p = &data;
    while (current) {
        current->bf += (current->data > *p)?1:-1;
        if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);
        else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
        if (!current->bf) break;
        p = &(current->data);
        current = current->parent;
    }
    return true;
}
bool remove(const T &data) {
    if (!BSTree<T>::remove(data)) return false;
    const T* p = &r_r_data;
    //在class BSTree里添加proteceted: T r_r_data，
    //在BSTree<T>::remove(const T &data)
    //里修改为实际删除的节点的data
    while (current) {
        current->bf -= (current->data > *p) ? 1 : -1;
        if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);
        else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
        if (current->bf) break;
        p = &(current->data);
        current = current->parent;
    }
    return true;
}

你可以看到，他们是多么的对称。

平衡化

显然的，平衡化后的子树应该是平衡的，以此为原则，很容易得知在各种情况下应该怎么旋转。

private:
    void L_Balance(BTNode<T>* &p) {
        if (p->right->bf == 1) R_Rotate(p->right);
        L_Rotate(p); current = p;
    }
    void R_Balance(BTNode<T>* &p) {
        if (p->left->bf == -1) L_Rotate(p->left);
        R_Rotate(p);
        current = p;
    }

他们也是对称的。

修改平衡因子

这是整个AVL树能运转的核心，现在的教科书，也正是因为没有真正弄明白如何修改平衡因子，才搞的switch…case满天飞。平衡因子的变化发生在旋转中——正因为这样，旋转才能有平衡化的作用——所以，应该把修改平衡因子的工作放在旋转操作中，而不是放在平衡化中。让我们来看看可能的旋转会带来的平衡因子变化的情况：

左旋（旋转后p暂时没有改变）

右旋（旋转后p暂时没有改变）

旋转前p

旋转前t

旋转后p

旋转后t

旋转前p

旋转前t

旋转后p

旋转后t

－2

－1

－2

－1

－2

－1

－2

旋转的最初发生是因为bf==2或bf==－2，对bf==1或者bf==-1的旋转是为了平衡化的需要——平衡化时的旋转p和t的bf不能异号。表面看起来这张表很凌乱，似乎没什么规律，其实不然。

对于左旋——p的右子树从t变成了t的左子树，显然p的右子树高度至少减1。t的bf代表了原来的t左右子树的高度差，如果t->bf<0，则p的右子树的高度还要减少|t->bf|。t的左子树在原来的左子树上面又多了一个p，显然左子树高度至少加1。在p的平衡因子修改完之后，如果p->bf>0那么t的左子树高度还要增加p->bf。

综合起来就是++(p->bf) -= t->bf < 0 ? t->bf : 0; ++(t->bf) += p->bf > 0 ? p->bf : 0;

对于右旋同理--(p->bf) -= t->bf > 0 ? t->bf : 0; --(t->bf) += p->bf < 0 ? p->bf : 0;

可以看到这也是对称的。

完整的AVL树实现

#define c_p current->parent
#define c_root (c_p?((c_p->left == current)?c_p->left:c_p->right):root)
#include "BSTree.h"
template <class T>
class AVLTree : public BSTree<T> {
public:
    bool insert(const T &data) {
        if (!BSTree<T>::insert(data)) return false;
        const T* p = &data;
        while (current) {
            current->bf += (current->data > *p)?1:-1;
            if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);
            else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
            if (!current->bf) break;
            p = &(current->data);
            current = current->parent;
        }
        return true;
    }
    bool remove(const T &data) {
        if (!BSTree<T>::remove(data)) return false;

        const T* p = &r_r_data;
        while (current) {
            current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;
            if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);
            else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
            if (current->bf) break;
            p = &(current->data);
            current = current->parent;
        }
        return true;
    }
private:
    void L_Balance(BTNode<T>* &p) {
        if (p->right->bf == 1) R_Rotate(p->right);
        L_Rotate(p);
        current = p;
    }
    void R_Balance(BTNode<T>* &p) {
        if (p->left->bf == -1) L_Rotate(p->left);
        R_Rotate(p);
        current = p;
    }
    void L_Rotate(BTNode<T>* &p) {
        BTNode<T>* t = p->right;
        t->parent = p->parent;
        p->parent = t;
        p->right = t->left;
        if (t->left) t->left->parent = p;
        t->left = p;
        ++(p->bf) -= t->bf < 0 ? t->bf : 0;
        ++(t->bf) += p->bf > 0 ? p->bf : 0;
        p = t;
    }
    void R_Rotate(BTNode<T>* &p) {
        BTNode<T>* t = p->left;
        t->parent = p->parent;
        p->parent = t;
        p->left = t->right;
        if (t->right) t->right->parent = p;
        t->right = p;
        --(p->bf) -= t->bf > 0 ? t->bf : 0;
        --(t->bf) += p->bf < 0 ? p->bf : 0;
        p = t;
    }
};

总结与启示

AVL树是个平衡的二叉树，使用对称的旋转来维持平衡，这也注定了对于它的其他操作也应该是对称的。但由于它不是很完美，因此插入和删除对外表现不那么对称（插入时一次平衡化就能平衡，删除时最坏的情况能一直调整到树根O(logN)），但他们内在的本质应该是对称的，正如上面给出的——所有的操作都是对称的。

促使我仔细的研究插入和删除的对称性，是出于我认定AVL树操作是对称的这一信念。这反映了一个人的哲学修养，我不想在此多谈哲学对于一个人的重要性，只是为那些认为马哲、毛概毫无用处的人惋惜。

本篇文章转自：数据结构学习（C++）——平衡二叉树（AVL树）