[算法第一轮复习] kruskal求最小生成树算法

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最小生成树算法即MST，有kruskal,prim两种算法，这里主要介绍kruskal

什么是最小生成树？

  对于一个图，保证其中每个点都可以连通的最小的花费

1.算法核心

  贪心+并查集

2.算法实现过程

克鲁斯卡尔算法

假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

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  定义三个数组，u, v, w 表示从点u到点v需要w的花费

  定义一个数组p 用作并查集， 定义一个数组r，用作排序

 — >  r的排序 是按照 其对应边的花费 由小到大排序

  贪心来了，每次从数组r中选取最小花费的边，查询最小的边的结点，是否是一个回路，就用到了并查集

 如果该点不产生回路，那么加入这条边，一定会是最合适的

3.标准代码

4.有图有真相

克鲁斯卡尔算法(Kruskal's algorithm)是两个经典的最小生成树算法的较为简单理解的一个。这里面充分体现了贪心算法的精髓。大致的流程可以用一个图来表示。这里的图的选择借用了Wikipedia上的那个。非常清晰且直观。

首先第一步，我们有一张图，有若干点和边

第一步我们要做的事情就是将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择。

排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了

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第二步，在剩下的边中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

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依次类推我们找到了6,7,7。完成之后，图变成了这个样子。

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下一步就是关键了。下面选择那条边呢？ BC或者EF吗？都不是，尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以我们不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是下图：

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到这里所有的边点都已经连通了，一个最小生成树构建完成。

Kruskal算法的时间复杂度由排序算法决定，若采用快排则时间复杂度为O(N log N)。

5.关键点- 并查集的使用

  并查集

 int find(int p)

{

  int root = p;

  while(f[root] != root)

   root = f[root];

 while(f[p] != root)

 {

  int temp = f[p];

 f[p] = root;

 p = temp;

}

return root;

}