Kruskal算法求最小生成树

1.Kruskal的思想是：

先把n个顶点分成n个单独的连通分量，把边用堆排序或者别的排序排成非递减序列；

依次从中拿出最小的边，判断是不是连接两个不同的连通分量，若是，则该边是一个最小生成树的边，否则往下找次小的边，继续，直至找到n-1条边为止。

难点：怎么判断一条边是不是连接两个不同的连通分量，在网上看了一些资料，大多是用并查集来实现。

具体为：

（1）维持一个father【】数组，初始化为：

for(int i = 0; i < edgenum; i++)

{

   father[i] = i;

}

(2)来一条边(u,v),在father数组中找到u和v的父亲，找父亲的函数为：

int FindFather(int x)

{

    while(father[i] != i)

   {

           i = father[i];

  }

}

看u和v的父亲是否相同，若相同则舍弃该边，不同则输出该边为最小生成树的边，然后再把u所在的连通分量和v所在的连通分量合并起来。

（3）合并函数（只用了两个小数据集验证了）为：

void mergearray(int x,int y)

{

   找到x的父亲，找到y的父亲，取其中较小的父亲作为合并后的集合的父亲。

   若较小的父亲为x的父亲f1；则用

   while(father[y] != y)

   {

      y = father[y];

      father[y] = f1;//即把y的当前父亲改成合并后的集合的父亲。

   }

}

解决了判断一条边是否是连接两个不同分量的问题，剩下的主要问题就是排序了，我用的是堆排序，规模为e，排序时间为O(eloge)；

下边判断边的时间为：O(e)

所以Kruskal算法的时间复杂度为：O(eloge).所以Kruskal算法适用于边少的稀疏图。

下边是代码：

#include "stdafx.h"#include <fstream>#include <iostream>using namespace std;#define path "F:\\test.txt"#define LT(a,b) a < btypedef struct UDG{int vexnum,arcnum;bool *visited;int **edge;//用来存储所有的边int *father;//用来判断一条边的两个顶点是不是在同一个连通分量中}Graph;void Readfile(Graph &g)//结果是建立有关边信息的二维数组edge，访问数组，以及father数组{fstream infile(path);cout << "读取第一行数，即顶点数和边数！" << endl;infile >> g.vexnum >> g.arcnum;cout << g.vexnum << ' ' << g.arcnum << endl;g.visited = new bool[g.vexnum]();g.edge = new int*[g.arcnum];int i = 0;for (i; i < g.arcnum; i++){g.edge[i] = new int[3]();}int j = 0;for (j; j < g.arcnum; j++)//以（node1,node2,val）方式存储每一条边{infile >> g.edge[j][0] >> g.edge[j][1] >> g.edge[j][2];cout << g.edge[j][0] << ' ' << g.edge[j][1] << ' ' << g.edge[j][2] << endl;}g.father = new int[g.vexnum];//数组初始化for (int i = 0; i < g.vexnum; i++){g.father[i] = i;}infile.close();}//下边就是堆排序了,小顶堆void Swap(int *a, int *b, int length)//这里的length为3，不只是要换权值，相应的边整个都换{int temp;for (int i = 0; i < length; i++){temp = a[i];a[i] = b[i];b[i] = temp;}}void HeapAdjust(int **a,int start,int length)//start为开始调整位置，length为数组的行数{//int key = a[start][2];//key为start位置的权值int j;for (j = start * 2 + 1; j <= length - 1; j = j * 2 + 1){if ( j < length - 1 && LT(a[j + 1][2], a[j][2])){j++;}//j表示最大孩子位置 if(LT(a[start][2], a[j][2]))break;Swap(a[start], a[j], 3);start = j;}}void EdgeHeapSort(Graph &g){int i;int start = g.arcnum / 2 - 1;for (i = start; i >= 0; i--)//调整成小顶堆{HeapAdjust(g.edge, i, g.arcnum);}int j;for (j = 1; j <= g.arcnum - 1; j++){Swap(g.edge[g.arcnum - j], g.edge[0], 3);HeapAdjust(g.edge, 0, g.arcnum - j);}}int Findfather(Graph &g, int x){int f;while (g.father[x] != x){x = g.father[x];}f = x;return f;}bool Is_Same_Father(int x, int y,Graph g){if (Findfather(g, x) == Findfather(g, y)){return true;}elsereturn false;}void mergearray(int x, int y, Graph &g)//若边(x,y)是新加入的边，则把x所在集合与y所在集合合并起来{ int f1 = Findfather(g, x);//x的父亲int f2 = Findfather(g, y);//y的父亲if (f1 < f2)//默认合并后让编号较小的父亲作为合并后的集合的父亲{while (g.father[y] != y){y = g.father[y];g.father[y] = f1;}g.father[y] = f1;}else{while (g.father[x] != x){x = g.father[x];g.father[x] = f2;}g.father[x] = f2;}}void MiniSpanTree_Kruskal(Graph g){int i = g.arcnum - 1;int cost = 0;//表示生成树的权值int count = 1;//判断已经找到多少边了for (i; i >= 0; i--)//循环e次{if (count < g.vexnum){if (Is_Same_Father(g.edge[i][0], g.edge[i][1], g)){}else{cout << g.edge[i][0] << "-->" << g.edge[i][1] << endl;cost = cost + g.edge[i][2];count++;mergearray(g.edge[i][0], g.edge[i][1], g);}}}cout << "最小生成树的权值为：" << cost << endl;}void printedge(Graph g){cout << "堆排序后边数组输出为：" << endl;for (int i = g.arcnum - 1; i >= 0; i --){cout << g.edge[i][0] << ' ' << g.edge[i][1] << ' ' << g.edge[i][2] << endl;}}void deletegraph(Graph g){delete []g.visited;g.visited = NULL;delete []g.father;g.father = NULL;for (int i = 0; i < g.arcnum; i++){delete []g.edge[i];}delete []g.edge;g.edge = NULL;}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){Graph A;Readfile(A);EdgeHeapSort(A);printedge(A);cout << "最小生成树的边为：" << endl;MiniSpanTree_Kruskal(A);system("pause");return 0;}</iostream></fstream>

test.txt的内容为：

6 10
0 1 6
0 2 1
0 3 5
1 2 5
1 4 3
2 3 5
2 4 6
2 5 4
3 5 2
4 5 6

输出结果为：