Tarjan算法

介绍

对任意有向图G=(V,E)，我们定义强连通关系u∼v（这里u,v∈V），当且仅当存在u到v的路径以及v到u的路径。容易看到这是一个等价关系，因此可以将V划分成不相交的子集并，我们称每个子集为G的强连通分支。

Tarjan算法作用即是对任意有向图，求出其所有的强连通分支。且其时间复杂度为O(|V|+|E|)。

算法

Tarjan算法本身十分简洁，但它的思想却非常巧妙。我们接下来介绍算法的具体内容：

算法的主体部分为深度优先搜索，在搜索的过程中对每个顶点维护两个属性lowlink和index。这里index表示深度优先搜索的访问顺序编号，即第n个访问的顶点index=n。lowlink是算法的关键所在，它的意义是记录从当前顶点所能到达的顶点中index最小的顶点。

算法同时维护一个栈，这个栈是tarjan算法的重要不变量，即顶点在栈中当且仅当它的lowlink对应的顶点也在栈中。

具体算法参考：维基百科。其关键步骤是：

1. 用DFS访问每个顶点。
2. 当访问到顶点v时，将其压栈。其index值即为当前访问序号，其lowlink值递归定义如下（初始时v.lowlink=v.index）：
   
   • 若(v,w)∈E且w还未访问，那么（递归）访问w，并且令v.lowlink=min{v.lowlink,w.lowlink}
   • 若(v,w)∈E且w还留在栈中，那么说明其已被访问，此时令v.lowlink=min{v.lowlink,w.index}
3. 若对于顶点v，（递归回来后）有v.lowlink=v.index。那么将栈pop到v（包括v），这些pop出来的顶点即构成一个强连通分支。

正确性

我们只需证明下面的结论：

• 当v.lowlink=v.index时从v到栈顶的元素包含且只包含v所在强连通分支的所有元素。
• 栈最终会清空（由于算法会最终会返回到出发顶点，这是显然的。）

证明：否则。若有某个v的连通分支所包含的顶点w未被访问过，那么存在从v到w的路径，由DFS的性质算法会继续搜索而不会返回。若有某个分支顶点w比v先访问，那么由于存在v到w的路径，因此这个递归分支返回的lowlink值必定不大于w.index，即v.lowlink≤w.index<v.index，矛盾！最后，我们证明任何分支顶点w，不会在算法返回到v之前被pop掉，且任意非分支顶点都会pop掉。这是因为由强连通性存在w到v的路径，因此由前面的讨论我们有w.lowlink≤v.index<w.index，这不满足pop的条件。而对于非分支点，其lowlink必定大于v的index（否则会使v.lowlink减小），因此在返回之前必定会pop掉。 □

同时由DFS的性质容易知道复杂度为O(|V|+|E|)。

类似算法

Tarjan算法的思想可以应用到很多问题上去，比如求解图的欧拉回路。我们可以给出算法如下：

1. 用DFS访问所有边
2. 若顶点v被访问，那么将其压栈。若此时v没有可访问的边，那么将其出栈。

容易知道若图存在欧拉回路，那么上面算法产生的序列即为一个回路。

另一个应用是求出无向图的无桥边连通分支（这个是直接应用）。