线性代数导论23——微分方程和exp(At)

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  

第二十三课时：微分方程和exp(At)

本文涉及微分方程，如何解一阶方程，一阶导数，常系数线性方程，可以将他们转化为线性代数的问题，关键思路是：常系数线性方程的解是指数形式的，如果在找一个指数形式的解，找出指数是多少，系数是多少，这是线性代数的拿手活。会发现这和矩阵的乘幂完全平行。

解两个微分方程的例子

如下两个关于时间t的微分方程，微分方程为du/dt=Au，它的系数矩阵A是[-1 2；1 -2]，并假设一个初值，假设u(u1, u2)在时间0时，u1(0)=1，但随着时间推移，将有du2/dt > 0，因为u1为正，东西将从u1流出流向u2，随着时间继续追踪它的变化，通过观察矩阵A的特征值和特征向量找到规律。

求特征值和特征向量，因为A是奇异矩阵，一个特征值为0，另一个特征值可由迹得到，即λ1=0, λ2=-3。教授由此预测答案的两部分，一部分为e^-3t，它将随时间增加消失，另一部分为稳态e^-0t=1为常数。求解特征向量得到：

答案如下，这是微分方程的通解，是两个纯指数解的组合。纯指数形式就是这样e^-3t的纯幂形式。

检查答案是否正确，对 e^-3t 对时间t求导，看是否等于Au

 

比较上节课差分方程相关公式：uk=A^ku0 = c1λ1^kx1 + c2λ2^kx2。

  

λ的幂次方在差分方程的解中，在这里，微分方程的解是λ的指数形式。解为：

常数c1,c2的值可由u(0)=(1  0)计算得到，所以常数c1,c2的值由初始条件确定，并不随着时间而变化。S为特征向量矩阵，Sc=u(0)，那么当t=0时，代入解可得：

以上把c1,c2代入可得最终答案，可以看到，从时间为0起u(0)=(1 0)，随着时间的流动，在极限状态（无限时间t）下，第二部分0，稳态是1/3[2 1]。

有时候并不会抵达稳态，有时候会。分以下几种状态：

1）当系数矩阵A的特征值为负数时，不管初值是多少，稳态总是趋于0，u(t)->0（不是说通解）。

2）当λ为复数时，假如λ=6i-3，λ的实数部分是负的，那么只有实部起作用，最终结果还是导致稳态趋于0

3）λ为正时，解将无法收敛。

总结起来二阶系统稳定性：一个2×2的矩阵稳定性，它的两个特征值实部是否都是小于0，如果λ1+λ2<0，且λ1λ2>0，那么此二阶系统是文档的。

思考原微分方程和方程的解：

  

原方程有两个相互耦合的未知函数，矩阵A表明u1,u2相互耦合，特征值和特征向量的作用就是解耦，又称对角化。实际上能把这个解表示成S和Λ的形式。

回到原方程组du/dt=Au，矩阵A表明u1,u2如何耦合，令u=Sv，S是特征向量矩阵，以特征向量为基，将u表示成Sv，将它代入原方程，

如上等式左右两边同时乘以S的逆，得到特征值组成的对角化矩阵所在的等式，如下：

关键在于：以特征向量组S为基，将u表示成Sv，得到关于v的对角化方程组，新方程组不存在耦合，dv1/dt=λ1v1......，这是各未知数之间没有联系的方程组，最终希望的结果：

上图中等式右侧前部分为：

矩阵指数：e的指数是一个矩阵，e^At正是原方程的解。为什么这个以矩阵为指数的公式是正确的？含有矩阵的指数是什么意思？

把e^At称为矩阵指数，方法是把指数展开成幂级数的形式

  

这是一个泰勒级数

有关泰勒级数的公式如上，第一个公式对矩阵同样成立，第二个公式也称几何级数，这是最简单的幂级数，因此会有如下展开式，这实际上是求逆矩阵的好方法，假如t很小就可以去掉若干项。

  

比较这两个级数，第一个级数并不一定会收敛，除非A的特征值小于1，|λ(At)|<1，级数收敛，求逆公式成立，但第二个级数分母越来越大，必然收敛。

如何证明下面的等式成立？

与第二个级数联系起来，有如下转化，前提是A能够对角化。

 

如果把对角阵代入矩阵指数的展开式，它的每一项都是对角阵，相当于n个普通的泰勒级数。

怎样的特征值使得微分方程存在稳定的解？当特征值的绝对值小于1时，矩阵的幂收敛于0。

如何把一个二阶微分方程转化为一阶方程组呢？可借鉴斐波拉契数列增加一个y'=y'，如下。

如果是5阶微分方程，那么可以得到5×5的系数矩阵。这个矩阵使得5阶微分方程转化为一阶向量方程