Linear Algebra - Lesson 23. 微分方程和exp(At)

Schedule

• Differential Equations dudx=Au
• Exponential eAt of a matrix

Differential Equations dudx=Au - 微分方程

Example :
{du1dt=−u1+2u2du2dt=u1−2u2→A=[−112−2]
假设U即(u1,u2)在时间0为U(0)=[10]

因为A是奇异矩阵,所以一个特征值是0,根据迹可以求得另一个特征值: λ1=0,λ2=−3
对应的特征向量分别是:x1=[2−1],x2=[1−1]
解出: U(t)=c1eλ1tx1+c2eλ2tx2
代入原先的式子中进行检查: dudt=Au plugin eλ1tx1 → λ1eλ1tx1=Aeλ1tx1
代入数值,得到
U(t)=c1∗1∗[21]+c2∗e−3t∗[1−1]
已知U(0)=[10],从而求得c1=c2=13
最终解得U(t)=13[21]+e−3t3[1−1]
随着t的增大,U(∞)=13[21].

1. Stability U(t)→0
   什么时候能够达到稳态?
   如果特征值是复数呢?
   假设λ1=−3+6i,则∣e(−3+6i)t∣=e−3t, 并且∣e6it∣=1
   可以看出只有实数部分是重要的,实部会导致最终结果趋于0或者是无穷.

2. Steady State 稳态
   当λ1=0而其他λ的实部<0

3. Blow up if any real part of λ is positive 如果存在λ为正或实部为正,则发散.

假设2×2矩阵A=[acbd],如何验证其特征值(或特征值的实部)均<0?
可以结合迹和行列式进行判断.
trace=a+d=λ1+λ2 所以迹应该是负的.
(λ1,λ2 的复数部分是否共轭????)
同时,对角线之和为负数仍不能保证结果收敛.
例如:[−2001] 存在值为1的特征值,如果其对应的系数不为0,则结果发散.
如果特征值都是负的,则对角线之和为负,而行列式的值(λ1λ2)为正.

求解微分方程需要求解: 特征值,特征向量, 对应系数

在上述的例子中可以看出,原方程组有两个相互耦合的未知函数,而求解出的特征值和特征向量起到了解耦的作用,又称对角化.
实际上能否将这个解表示成S和Λ的形式.

回到原来的微分方程.
矩阵A表示u1,u2耦合,关键是如何解耦.
假设U=Sv(S is eigenvectors) 矩阵A的非对角元素都不等于0.
则Sdvdt=ASv
dv/dt=S−1AS=Λv
以特征向量为基,将U表示成Sv.

Matrix exponential eAt

Exponential eAt of a matrix