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二次剩余--欧拉准则

来源：互联网发布：网络配线架价格编辑：程序博客网时间：2024/04/29 01:38

在数论中，二次剩余的欧拉判别法（又称欧拉准则）是用来判定给定的整数是否是一个质数的二次剩余。

目录

1叙述
2举例
- 2.1例子一：对于给定数，寻找其为二次剩余的模数
- 2.2例子二：对指定的质数p，寻找其二次剩余
3证明
4参考资料
5外部链接

叙述

若 $p$ 是奇质数且 $p$ 不能整除 $d$ ，则：

d

是模

p

的二次剩余当且仅当：

d^{ \frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}

d

是模

p

的非二次剩余当且仅当：

d^{ \frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{p}

以勒让德符号表示，即为： $d^{ \frac{p-1}{2}} \equiv \left( \frac{d}{p}\right) \pmod{p}$

举例

例子一：对于给定数，寻找其为二次剩余的模数

令a = 17。对于怎样的质数p，17是模p的二次剩余呢？

根据判别法里给出的准则，我们可以从小的质数开始检验。

首先测试p = 3。我们有：17^{(3 − 1)/2} = 17¹ ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3)，因此17不是模3的二次剩余。

再来测试p = 13。我们有：17^{(13 − 1)/2} = 17⁶ ≡ 1 (mod 13)，因此17是模13的二次剩余。实际上我们有：17 ≡ 4 (mod 13)，而2² = 4.

运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去，可以得到：

对于质数p =

13, 19, \cdots

，(17/p) = +1（也就是说17是模这些质数的二次剩余）。

对于质数p =

3, 5, 7, 11, 23, \cdots

，(17/p) = -1（也就是说17是模这些质数的二次非剩余）。

例子二：对指定的质数p，寻找其二次剩余

哪些数是模17的二次剩余？

我们可以手工计算：

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25 ≡ 8 (mod 17)

6² = 36 ≡ 2 (mod 17)

7² = 49 ≡ 15 (mod 17)

8² = 64 ≡ 13 (mod 17)

于是得到：所有模17的二次剩余的集合是 ${1,2,4,8,9,13,15,16}$ 。要注意的是我们只需要算到8，因为9=17-8，9的平方与8的平方模17是同余的：9² = (−8)² = 8² ≡ 13 (mod 17).（同理不需计算比9大的数）。

但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余，就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余，只需要计算3^{(17 − 1)/2} = 3⁸ ≡ 81² ≡ ( − 4)² ≡ − 1 (mod 17)，然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。

欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关，并且在定义欧拉-雅可比伪素数（见伪素数）时会用到。

证明

首先，由于 $p$ 是一个奇素数，由费马小定理， $d^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ 。但是 $p-1$ 是一个偶数，所以有

(d^{ \frac{p-1}{2} } -1) \cdot (d^{ \frac{p-1}{2} }+1) \equiv 0 \pmod{p}

$p$ 是一个素数，所以 $d^{ \frac{p-1}{2} } -1$ 和 $d^{ \frac{p-1}{2} }+1$ 中必有一个是 $p$ 的倍数。因此 $d^{ \frac{p-1}{2} }$ 模 $p$ 的余数必然是1或-1。

证明若 $d$ 是模 $p$ 的二次剩余，则 $d^{ \frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$

若 $d$ 是模 $p$ 的二次剩余，则存在 $x^2 \equiv d \pmod{p}$ ， $p$ 跟 $d,x$ 互质。根据费马小定理得：

d^{ \frac{p-1}{2}} \equiv x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

证明若 $d^{ \frac{p-1}{2} } \equiv 1 \pmod{p}$ ，则 $d$ 是模 $p$ 的二次剩余

$p$ 是一个奇素数，所以关于 $p$ 的原根存在。设 $a$ 是 $p$ 的一个原根，则存在 $1 \le j \le p-1$ 使得 $d=a^j$ 。于是

a^{j \frac{p-1}{2} } \equiv 1 \pmod{p}

a

是

p

的一个原根，因此

a

模

p

的指数是

p-1

，于是

p-1

整除

\frac{ j(p-1) }{2}

。这说明

j

是一个偶数。令

i = \frac{j}{2}

，就有

(a^i)^2 =a^{2i} = d

。

d

是模

p

1 0

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