浅谈双线程dp （nyoj61 nyoj712）经典【传字条】和【探 寻 宝 藏】

浅谈双线程dp 

先看问题： 

传纸条（一）

时间限制：2000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：5

描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。 

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-1000的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入

第一行输入N(0<N<100)表示待测数据组数。
每组测试数据输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（2<=m,n<=50）。 
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度（不大于1000）。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出

每组测试数据输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。 

样例输入

13 30 3 92 8 55 7 0

样例输出

34

来源

NOIP2008

上传者

hzyqazasdf

如果是从左上角跑到右下角求最大值 相信就是一个数塔问题（不懂的请见 http://blog.sina.com.cn/s/blog_65caa9780100xrq6.html 第一个问题）

只能向右 和 向左

数塔问题的动态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

现在题目要求我们 还得回去 所以我们可以理解为两点同时走从起点走不同路线到终点的最大值

定义状态： dp[i][j][x][y] 为两个点（i，j） 和 （x，y）的最大值

dp[i][j][x][y] = max( max(dp[i-1][j][x-1][y] , dp[i-1][j][x][y-1] ), max( dp[i][j-1][x-1][j] , dp[i][j-1][x][j-1]));//解释一下 左 和 上 两方向

代码：

 #include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <string>#include <cmath>#include <map>#include <vector>#include <queue>#include <stack>using namespace std;const int N = 52;int dp[N][N][N][N];int a[N][N];int main(){//    freopen("Input.txt","r",stdin);    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        int n,m;        scanf("%d%d",&n,&m);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            for(int j=1;j<=m;j++)                scanf("%d",&a[i][j]);        }        memset(dp,0,sizeof(dp));        for(int i=1;i<=n;i++)        {            for(int j=1;j<=m;j++)            {                for(int x = 1;x<=n;x++)                {                    for(int y=2;y<=m;y++)                    {                        int tmp = max( max(dp[i-1][j][x-1][y],dp[i-1][j][x][y-1]),max(dp[i][j-1][x-1][y],dp[i][j-1][x][y-1]) );                        if(x<i)                        {                            dp[i][j][x][y] =tmp + a[i][j] + a[x][y];//                            puts("A");                        }                        else                        {                            if(y>j){                                dp[i][j][x][y] = tmp + a[i][j] + a[x][y];//                                printf("B :%d\n",tmp);                            }                        }//                        printf("%d %d %d %d %d %d\n",i,j,x,y,a[x][y],dp[i][j][x][y]);                    }                }            }        }        printf("%d\n",dp[n][m-1][n-1][m]);    }    return 0;}        

结果：超时了！

说明四层循环 不行 转移方程得优化

dp[i][j][x][y] = max( max(dp[i-1][j][x-1][y] , dp[i-1][j][x][y-1] ), max( dp[i][j-1][x-1][j] , dp[i][j-1][x][j-1]))+Map【i】【j】+Map【x】【y】;

观察转移方程 不难发现点（i-1，j） （i，j-1）  （x，y-1） （x-1，y）的和是相同的

于是我们可以设他们的和 为 k = i +j-1

这里的 i代表上面的i   j 代表上面的 x

y1 = k-i//第一个点的 纵坐标

y2 = k-j//第二个点的 纵坐标

dp[k][i][j]=max(max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1]),max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1]))+Map[i][y1]+Map[j][y2]

于是就完成了 用两个点 对图的最大化

 #include<bits/stdc++.h>//有些oj可能不支持using namespace std;int Map[55][55];int dp[110][55][55];int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        memset(Map,0,sizeof(Map));        memset(dp,0,sizeof(dp));        int m,n;        scanf("%d%d",&m,&n);        for(int i=1;i<=m;i++)            for(int j=1;j<=n;j++)        scanf("%d",&Map[i][j]);        int k,i,j;        for(k=2;k<=m+n;k++)        {            for(i=1;i<=m;i++)            {                for(j=1;j<=m;j++)                {                    int y1 = k-i;                    int y2 = k-j;                    if(y1>n||y1<0||y2>n||y2<0)                    {                        continue;                    }                    if(y1==y2)                        continue;                    dp[k][i][j] = max(max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-1][j]),max(dp[k-1][i][j-1],dp[k-1][i-1][j-1]))+Map[i][k-i]+Map[j][k-j];                }            }        }        printf("%d\n",dp[m+n-1][m][m-1]);    }}        

#include<bits/stdc++.h>//<strong style="font-family: Tahoma, Arial, sans-serif, simsun; background-color: rgb(255, 255, 255);"></strong><pre name="code" class="cpp" style="display: inline !important;">有些oj可能不支持

using namespace std;int dp[110][55][55];int Map[55][55];int main(){ int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int n,m; scanf("%d%d",&m,&n); for(int i = 1;i <= m; i++) { for(int j = 1;j <= n; j++) { scanf("%d",&Map[i][j]); } } int k,i,j; dp[2][1][1] = Map[1][1]; for(k = 3;k <= m+n; k++) { for(int i = 1;i <= m; i++) { for(int j = 1; j <= m;j++) { int y1 = k-i; int y2 = k-j; if(y1 > n||y2 > n||y1 < 0|| y2 < 0) continue; dp[k][i][j] = max(max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1]),max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1]))+Map[i][y1]+Map[j][y2]; } } } printf("%d\n",dp[n+m-1][m-1][m-1]+Map[m][n]); }}