树状数组

好久都对这个东西有点陌生，看了一下午，终于能说出点缘由来了。。。

从网上找的点资料。。。

一、树状数组是干什么的？

       平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作，比较常见的如，修改某点的值、求某个区间的和，而这两种恰恰是树状数组的强项！当然，数据规模不大的时候，对于修改某点的值是非常容易的，复杂度是O(1)，但是对于求一个区间的和就要扫一遍了，复杂度是O(N)，如果实时的对数组进行M次修改或求和，最坏的情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后这是划不来的！而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*lgN)，别小看这个lg，很大的数一lg就很小了，这个学过数学的都知道吧，不需要我说了。

二、原理讲解

给定序列（数列）A，我们设一个数组C满足

C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]

其中，k为i在二进制下末尾0的个数，i从1开始算！

则我们称C为树状数组。

下面的问题是，给定i，如何求2^k?

答案很简单：2^k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)    为什么呢？？ 请看下面：

整数运算 x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。
       因为：x &(-x) 就是整数x与其相反数（负号取反）的按位与：1&1=1,0&1 =0, 0&0 =1。具体分析如下：
       □ 当x为0时，x&(-x) 即 0 & 0，结果为0；
       □ 当x不为0时，x和-x必有一个为正。不失一般性，设x为正。
       ●当x为奇数时，最后一个比特为1，取反加1没有进位，故x和-x除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为0。最后一位都为1，故结果为       1。
       ●当x为偶数，且为2的m次方（m>0）时，x的二进制表示中只有一位是1（从右往左的第m+1位），其右边有m位0，左边也都是0（个数由表示   x的字        节数决定），故x取反加1后，从右到左第有m个0，第m+1位及其左边全是1。这样，x& (-x) 得到的就是x。 
       ●当x为偶数，却不为2的m次方的形式时，可以写作x= y * (2^k)。其中，y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时，x的   二进制         表示最右边有k个0，从右往左第k+1位为1。当对x取反时，最右边的k位0变成1，第k+1位变为0；再加1，最右边的k位就又变成了0，第   k+1位因为进         位的关系变成了1。左边的位因为没有进位，正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第k+1位上为1，左边右边都为   0。结果为2^k，即         x中包含的2的最大次方的因子。
        总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。 比如x=32，其中2的最大次方因子  为                 2^5，故x&(-x)结果为32；当x=28，其中2的最大次方因子为4，故x & (-x)结果为4。当x=24，其中2的最大次方因子为8,故 x&(-x)结果为  8。

（结合网址：http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868）

三、用途

（1）最基本的数组区间改变、更新、求和。

（2）逆序数

（3）二维线段树求矩阵的更新、求和等（暂未整理）

四、经典题型（详情：http://blog.csdn.net/zhengxu001/article/details/8029790）

源代码模板：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include <iostream>using namespace std;#define MAX 100int a[MAX],c[MAX];int lowbit(int x){    return x & (-x);}void update(int x,int add){//更新树状数组   x为原数组的下标  add是原数组的值     while(x<MAX){//更新范围，如果数组没全部用到不用全部更新，条件可以设置         c[x]+=add;            x+=lowbit(x);    }}int get_sum(int x){//求前n项和     int sum=0;     while(x!=0){               sum+=c[x];           x-=lowbit(x);    }      return sum;}int main (){int a[]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};for(int i=1;i<=10;i++)   update(i,a[i]);   for(int i=1;i<=100;i++)   cout<<c[i]<<' ';cout<<endl<<endl;    for(int i=1;i<=100;i++)     cout<<get_sum(i)<<' ';return 0;}