动态规划__合唱队形问题

来源：互联网发布：始祖鸟羽绒服知乎编辑：程序博客网时间：2024/06/04 20:11

问题描述

N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式 Input Format 输入的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。

输出格式 Output Format 输出包括得到的最优队列的同学个数以及最终同学的身高排列

思路

这个问题可以分解为对于0<=i<=n-1(n为同学数) 我们要求得满足子序列[0, i)的升序排列最优个数p加上子序列[i, n)满足降序最优个数q即p+q最大的i值对于升序和降序的最优解可以用动态规划来构造

数组a[i]是第i个人的身高，b[i]是从左边第一个到a[i]的最长上升子序列，c[i]是从右边第一个到a[i]的最长上升子序列。这题的关键在于理解如何获得b[i]和c[i]的值。我们可以知道，不管a[i]为什么值时，b[i]>=1;（因为它本身就是一个上升序列元素。）假设 i=1 ，此时b[1]=1;因为a[1]的前面没有元素。那么如果a[2]>a[1]，显然可以得到b[2]=b[1]+1; 因为a[1]，a[2]是一个上升子序列。如果a[3]<=a[2]且a[3]>=a[1]，那么b[2]为2；因为它可以和a[1]组成上升子序列。同理，若a[3]>a[1]..a[3-1]，则b[3]=max{b[1]...b[3-1]}。由此我们可以得到递推关系式： b[i]=max{b[j](1<=j<i)|a[i]> a[j]}+1 （学过集合的应该看得懂。）同理可以求出c的值。然后，可以得到符合合唱队的队列是b[i]+c[i]-1(a[i]被重复计算了一次)，而题目要求的合唱队列是：max{b[i]+c[i]-1} 1<=i<=总人数，那么要挑出去多少人也就明白了，即总人数 - max{b[i]+c[i]-1

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//DJ.W 2012.11.9
//合唱队形问题:
// 问题描述: 给定一串整数从中剔除一些数使得其按从从小到大再从大到小的顺序排列如: 1 2 3 6 5 4 要求留下的数字尽可能多
// 输入: 数组大小数组数据
// 输出: 能得到的最优队列元素个数并输出元素队列
#include <iostream>
using namespace std;
//用于保存子问题最优解的备忘录
typedef struct
{
int maxlen; //当前子问题最优解
int prev; //构造该子问题所用到的下一级子问题序号(用于跟踪输出最优队列)
}Memo;
//用于递归输出Memo B中的解
void Display(int* A, Memo* M, int i)
{
if (M[i].prev == -1)
{
cout<<A[i]<<" ";
return;
}
Display(A, M, M[i].prev);
cout<<A[i]<<" ";
}
//算法主要部分
void GetBestQuence(int* A, int n)
{
//定义备忘录并作必要的初始化
Memo *B = new Memo[n]; //B[i]代表从A[0]到A[i]满足升序剔除部分元素后能得到的最多元素个数
Memo *C = new Memo[n]; //C[i]代表从A[i]到A[n-1]满足降序剔除部分元素后能得到的最多元素个数
B[0].maxlen = 1; //由于B[i]由前向后构造初始化最前面的子问题 (元素本身就是一个满足升序降序的序列)
C[n-1].maxlen = 1; //同样C[i]由后向前构造
for (int i=0; i<n; i++) //为前一个最优子问题序号给定一个特殊标识-1
//用于在跟踪路径时终止递归或迭代(因为我们并不知道最终队列从哪里开始)
{
B[i].prev = -1;
C[i].prev = -1;
}
for (i=1; i<n; i++) //构造B[n]
{
int max=1;
for (int j=i-1; j>=0; j--) //查看前面的子问题找出满足条件的最优解并且记录
{
if (A[j]<A[i] && B[j].maxlen+1>max)
{
max = B[j].maxlen+1; //跟踪当前最优解
B[i].prev = j; //跟踪构造路径
}
}
B[i].maxlen = max; //构造最优解
}
for (i=n-1; i>0; i--)
{
int max=1;
for (int j=i; j<n; j++) //从后往前构造这是为了后面在统筹最终解时可以直接用B[i]+C[i]-1
//否则我们得到的最优解始终为B[n-1]+C[n-1]
{
if (A[j]<A[i] && C[j].maxlen+1>max) //比当前长度更长记录并构造
{
max = C[j].maxlen+1;
C[i].prev = j;
}
}
C[i].maxlen = max;
}
//遍历i 得到最大的B[i]+C[i]-1(-1是因为我们在B[i]和C[i]中均加上了A[i]这个数因此需要减去重复的)
int maxQuence = 0; //记录当前最优解
int MostTall; //记录i 用于跟踪构造路径
for (i=0; i<n; i++)
{
if (B[i].maxlen+C[i].maxlen-1 > maxQuence)
{
maxQuence = B[i].maxlen+C[i].maxlen-1;
MostTall = i;
}
}
cout<<"最大合唱队形长度: "<<maxQuence<<endl;
//B由前向后构造因此prev指向前面的元素需要递归输出
Display( A, B, MostTall);
//C的prev指向后面元素直接迭代输出
while (C[MostTall].prev != -1)
{
MostTall = C[MostTall].prev;
cout<<A[MostTall]<<" ";
}
cout<<endl;
delete []B;
delete []C;
}
int main()
{
//测试
int *A;
int n;
cout<<"请输入合唱队员个数: "<<endl;
cin>>n;
A = new int[n];
cout<<"输入队员身高 :"<<endl;
for (int i=0; i<n; i++)
{
cin>>A[i];
}
GetBestQuence(A, n);
delete []A;
return 0;
}

0 0