【USACO 2015 Open Gold】Palindromic Paths 动态规划

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#include <stdio.h>int main(){    puts("转载请注明出处[vmurder]谢谢");    puts("网址：blog.csdn.net/vmurder/article/details/45222487");}

题意：

从 n×n 的矩阵 左上角走到右下角会有一个长度 n+n+1 的字符串，问有多少种走法使得路径字符串为回文？

题解：

f(i,j,k,l) 表示起点横着走 i 步，竖着走 j 步，终点竖着走 k 步，横着走 l 步时的回文方案数。
然后跑动态规划时 f(i,j,k,l) 可以更新
f(i+1,j,k+1,l)、f(i+1,j,k,l+1)、f(i,j+1,k+1,l)、f(i,j+1,k,l+1)
跑动态规划的顺序是 (i+j) 从小到大。

然后时间复杂度是 O(n4)，但是我们发现 (i+j==k+l) ，所以可以少枚举一个 l ，然后时空复杂度就变成 O(n3) 了，但是这道题64MB，会MLE，然后我们发现 (i+j) 满足滚动数组的性质，空间复杂度变成了 O(n2) 。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#define N 505#define mod 1000000007using namespace std;int n,f[2][N][N];char s[N][N];#define add(a,b) (a=(a+b)%mod)int main(){    int i,j,k,l;    int a,b,x,y;    scanf("%d",&n);    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%s",s[i]+1);    if(s[1][1]!=s[n][n])    {        puts("0");        return 0;    }    int now=1,last=0;    f[now][0][0]=1;    for(int h=0;h<n;h++)    {        now^=1,last^=1;        memset(f[now],0,sizeof f[now]);        for(i=0;i<=h;i++)        {            j=h-i,a=1+i,b=1+j;            for(k=0;k<=h;k++)            {                l=h-k,x=n-l,y=n-k;                if(s[a+1][b]==s[x-1][y])add(f[now][i+1][ k ],f[last][i][k]);                if(s[a+1][b]==s[x][y-1])add(f[now][i+1][k+1],f[last][i][k]);                if(s[a][b+1]==s[x-1][y])add(f[now][ i ][ k ],f[last][i][k]);                if(s[a][b+1]==s[x][y-1])add(f[now][ i ][k+1],f[last][i][k]);            }        }    }    int ans=0;    for(i=0;i<n;i++)add(ans,f[last][i][i]);    cout<<ans<<endl;    return 0;}