既不是P也不是NP完全的NP问题

介绍

P=?NP问题是计算复杂性理论里面最重要的问题之一，它的重要性在于如果P=NP是成立的那么life is easy，因为这意味着如果一个问题是容易验证的那么也会容易解决。不过目前的主流观点更倾向于认为P≠NP，因为一方面这是密码学里面很多hard assumption的基础，另一方面现在的很多结果也支持这一结论。

本文讨论的问题是：如果P≠NP，那么是否存在一个问题既不属于P也不属于NPC?

这个问题的答案是肯定的，它最初由Ladner证明，我们接下来给出这个证明。

Ladner′s theorem

Ladner证明的主要思路是构造一个可计算集合A使得其属于NP，使其增长的比P要“快”，但比NPC“慢”。

令M1,M2,⋯,Mn,⋯是所有确定性多项式图灵机的一个枚举，使得Mi(x)在|x|i的时间内给出判定。类似的，令fi表示对所有多项式时间可计算函数的枚举。

我们给出如下两个条件：

1. Ri:A≠L(Mi)
2. S_i:Si:对任意x，要么x∈SAT且fi(x)∉A，要么x∉SAT且fi(x)∈A

我们定义集合A如下：

A={x∣x∈SAT 并且 f(|x|) 是偶数}

注意到，如果f(n)能在poly(n)内计算完成，那么A∈NP。

我们递归的定义f(n)。首先，令f(0)=f(1)=2。若n>1，我们定义f(n+1)为：如果logf(n)(n)≥n，那么令f(n+1)=f(n)。否则，考虑一下两种情况：

1. f(n)=2i: 检查是否存在x满足|x|≤log(n)使得满足下面两者之一
   
   • Mi(x)接受，并且f(|x|)是偶数与x∈SAT不同时满足
   • Mi(x)拒绝，并且f(|x|)是偶数与x∈SAT同时满足

如果这样的x存在，那么f(n+1)=f(n)+1，否则f(n+1)=f(n)。

1. f(n)=2i+1: 检查是否存在x满足|x|\le \log(n)|x|≤log(n)使得满足下面两者之一
   
   • x∈SAT，并且f(|fi(x)|)是偶数与fi(x)∈SAT不同时满足
   • x∉SAT，并且f(|fi(x)|)是偶数与fi(x)∈SAT同时满足

如果这样的x存在，那么f(n+1)=f(n)+1，否则f(n+1)=f(n)。

由于f(n)的计算只检查了|x|≤log(n)的x并且

|x|i≤logi(n)≤logf(n)(n)≤f(n)

所以f(n)能在poly(n)内计算完成。

我们现在来讨论为什么A∉P。注意到当f(n)=2i时的条件等价为A≠L(Mi)，如果A=L(Mi)对某个i成立，那么f(n)将一直为偶数（n>i）即A与SAT只有有穷个不同，这与P≠NP矛盾。

A也不属于NPC，这是因为f(n)=2i+1的条件等价为Si。所以若存在SAT到A的一个归约函数fi(x)，那么条件Si将一直不满足，即f(n)一直为奇数（n>i）。这将导致A为有限集合，这将使得SAT∈P（有限集合的计算为O(1)），与P≠NP矛盾。□

Reference

[1]. http://oldblog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdf