zoj2432 hdoj1423 最长公共上升子序列（LCIS）

来源：互联网发布：网络推广部门口号编辑：程序博客网时间：2024/06/05 15:13

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题意：
一看题目题意就很明显了，两个数组a，b，求出两个数组公共的最长的上升子序列（可以不是连续的子序列）。
分析：
如果做过最长公共子序列应该更容易明白点。
定义状态d[i][j]表示以a数组的前i个元素，b数组的前j个元素并且以b[j]为结尾的LCIS的长度。
首先：a[i] ！= b[j]时， d[i][j] = d[i-1][j]; 因为d[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果 d[i][j] > 0 那么就说明 a[1] …. a[i] 中必然有一个元素 a[k] 等于 b[j]。因为 a[k] != a[i]，那么 a[i] 对 d[i][j] 没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出 d[i][j] 的最优值。所以在 a[i] != b[j] 的情况下必然有 d[i][j] = d[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。
当a[i]==b[j]时，首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的d数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。第二维需要枚举b[1]..b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。

状态转移方程：
a[i] != b[j]: d[i][j]=d[i-1][j] ；
a[i] == b[j]: d[i][j]=max(d[i-1][k]) + 1 ；（1<= k <= j-1）
不难看到，这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP，离平方还有一段距离。

但是，这个算法最关键的是，如果按照一个合理的递推顺序，max(d[i-1][k])的值我们可以在之前访问 d[i][k] 的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢？首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环，第二维在内层循环。也就是算好了 d[1][n2] 再去算 d[2][1]。如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0，然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max = d[i-1][j]。如果循环到了a[i]==b[j]的时候，则令 d[i][j] = max+1。
最后答案是 d[n1][1] … d[n1][n2]的最大值。

a = {1, 4, 2, 5, -12}; b = {5, -12, 1, 2, 4 , 5};

* 5 -12 1 2 4 5 1 0 0 1 0 0 0 4 0 0 1 0 2 0 2 0 0 1 2 2 0 5 1 0 1 2 2 3 -12 1 1 1 2 2 3

仔细看表格会发现：若d[i][j] > 0 的话，那么在数组a前i个元素中一定存在a[k]( 1 <= k <= i)等于b[j]. 否则说明前i个a元素中没有与b[j]相同的元素。
zoj2432

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string.h>#include<cstring>#include<math.h>using namespace std;const int N = 505;int n1, n2, t, mx, sum;int a[N], b[N], d[N][N], pi[N][N], pj[N][N];void  dp(){    for(int i = 1; i <= n1; i++)    {        int mx = 0, x = 0, y = 0;        for(int j = 1; j <= n2; j++)        {            d[i][j] = d[i-1][j];            pi[i][j] = i-1;            pj[i][j] = j;            if(a[i] > b[j] && mx < d[i-1][j])            {                mx = d[i-1][j];                x = i-1; y = j;            }            else if(a[i] == b[j])            {                d[i][j] = mx + 1;                pi[i][j] = x;                pj[i][j] = y;            }        }    }}void ac(int x, int y){    if(d[x][y] == 0)        return;    int fx = pi[x][y];    int fy = pj[x][y];    ac(fx, fy);    if(d[x][y] != d[fx][fy] && y != 0)    {        printf("%d", b[y]);        sum++;        if(sum < mx) printf(" ");        else            printf("\n");    }}int main(){    cin >> t;    while(t--)    {        scanf("%d", &n1);        for(int i = 1; i <= n1; i++) scanf("%d", &a[i]);        scanf("%d", &n2);        for(int i = 1; i <= n2; i++) scanf("%d", &b[i]);        memset(d, 0, sizeof(d));        memset(pi, -1, sizeof(pi));        memset(pj, -1, sizeof(pj));        dp();        mx = 0;        int flag = 0;        for(int i = 1; i <= n2; i++)        {            if(d[n1][i] > mx)            {                mx = d[n1][i];                flag = i;            }        }        printf("%d\n", mx);        for(int i = 1; i <= n1; i++)        {            for(int j = 1; j  <= n2; j++)                printf("%d ", d[i][j]);            printf("\n");        }        sum = 0;        if(mx > 0)            ac(n1, flag);        if(t)            printf("\n");    }    return 0;}

hdoj1423

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string.h>#include<cstring>#include<math.h>using namespace std;int n1, n2, t, k;int a[505], b[505], d[505][505];int dp(){    int mx;    for(int i = 1; i <= n1; i++)    {        mx = 0;        for(int j = 1; j <= n2; j++)        {            d[i][j] = d[i-1][j];            if(a[i] > b[j] && mx < d[i-1][j]) mx = d[i-1][j];            else if(a[i] == b[j])                d[i][j] = mx + 1;        }    }    mx = 0;    for(int i = 1; i <= n2; i++)    {        if(d[n1][i] > mx)             mx = d[n1][i];    }    return mx;}int main(){    cin >> t;    while(t--)    {        scanf("%d", &n1);        for(int i = 1; i <= n1; i++) scanf("%d", &a[i]);        scanf("%d", &n2);        for(int i = 1; i <= n2; i++) scanf("%d", &b[i]);        memset(d, 0, sizeof(d));        int ans = dp();        printf("%d\n", ans);        if(t) printf("\n");    }    return 0;}

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