Swift学习—— 求Fibonacci数列

参考自：http://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/11/25/2261980.html

题目：定义Fibonacci数列如下：

分析1：看到斐波那契数列几乎所有的程序员在第一时间的反应都是“递归”，没错了，作为和汉诺塔一样的经典递归问题，我们几乎毫不犹豫就可以写出如下的代码：

func fibonacci_1(index:Int)->Int{    if index == 0{        return 0    }    else if index == 1{        return 1    }    else    {        return fibonacci_1(index-1)+fibonacci_1(index-2)    }}

分析2：既然上面算法的主要缺点是要重复的计算很多不必要的数值，那么我们的想法是不计算那些重复的值，我们考虑对于任意一个N值，我们从第一项开始，不断的累积下去，这样就可以避免重复计算。由于是从第一项逐次求解，所以该算法的时间复杂度为O(n)。代码如下：

func fibonacci_2(index:Int)->Int{    if index == 0{        return 0    }    else if index == 1{        return 1    }    else    {        var firstNum:Int = 0        var secondNum:Int = 1        var count = 1        var fib = 0        while count < index        {            fib = firstNum + secondNum            firstNum = secondNum            secondNum = fib            ++count        }        return fib    }}

分析3：最后介绍一种效率最高的算法O(logn)，首先我们有下面的数学公式：

我们可以用数学归纳法证明如下：

Step1: n=2时

Step2：设n=k时，公式成立，则有：

等式两边同乘以[1,1;1,0]矩阵可得：

左=右，这正是n=k+1时的形式，即当n=k+1时等式成立。

由Step1和Step2可知，该数学公式成立。

由此可以知道该问题转化为计算右边矩阵的n-1幂问题。

我们利用分治的算法思想可以考虑如下求解一个数A的幂。

实现这种算法需要定义矩阵，以及矩阵的有关运算，具体代码如下：

//定义一个矩阵结构体struct Matrix2by2 {    var m00:Int    var m01:Int    var m10:Int    var m11:Int    init(m_00:Int, m_01:Int, m_10:Int, m_11:Int){        self.m00 = m_00        self.m01 = m_01        self.m10 = m_10        self.m11 = m_11    }    }//定义2X2矩阵的乘法运算func matrixMultiply(matrix1:Matrix2by2, matrix2:Matrix2by2)->Matrix2by2{    var matrix12:Matrix2by2 = Matrix2by2(m_00: 1, m_01: 1, m_10: 1, m_11: 0)    matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10    matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11    matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10    matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11    return matrix12}//定义2X2矩阵的幂运算func matrixPower(n:Int)->Matrix2by2{    var matrix:Matrix2by2 = Matrix2by2(m_00: 1, m_01: 1, m_10: 1, m_11: 0)    if n == 1{        matrix = Matrix2by2(m_00: 1, m_01: 1, m_10: 1, m_11: 0)    }    else if n % 2 == 0{        matrix = matrixPower(n/2)        matrix = matrixMultiply(matrix, matrix)    }    else if n % 2 == 1{        matrix = matrixPower((n-1) / 2)        matrix = matrixMultiply(matrix, matrix)        matrix = matrixMultiply(matrix, Matrix2by2(m_00: 1, m_01: 1, m_10: 1, m_11: 0))    }    return matrix}func fibonacci_3(index:Int)->Int{    if index == 0{        return 0    }    else if index == 1{        return 1    }    else{        var fibMatrix:Matrix2by2 = matrixPower(index-1)        return fibMatrix.m00    }}