对一个木棒变三角形问题的另一种思考。
来源:互联网 发布:js 跨域上传 编辑:程序博客网 时间:2024/05/31 19:08
面试被问到将木棒变三角形问题,当时也想出来了,后来发现自己想的和别人想的不太一样。写在这里和大家分享一下。
将长为L的木棒随机折成3段,则3段构成三角形的概率是?
经典解法:
设线段(0,a)任意折成三段长分别为x,y,a-x-y,显然有x>0,y>0,a-x-y>0,满足这三个约束条件的(x,y)在平面直角坐标系中的可行域为一个直角三角形,其面积为:(1/2)a^2.
三段长能构成三角形的条件是:任意两边之和大于第三边,也就是:
x+y>a-x-y,a-x-y+x>y,a-x-y+y>x同时成立
即 x+y>a/2,y<a/2,x<a/2同时成立
满足x+y>a/2,y<a/2,x<a/2同时成立的(x,y)在平面直角坐标系中的可行域也为一个直角三角形,其面积为:(1/8)a^2
故此三段能构成三角形的概率为:p=[(1/8)a^2]/[(1/2)a^2]=1/4=0.25
我的想法:
上面也分析了:三段长能构成三角形的条件是:任意两边之和大于第三边,也就是: x+y>a-x-y,a-x-y+x>y,a-x-y+y>x同时成立 即 x+y>a/2,y<a/2,x<a/2同时成立,问题等价于将两个点a,b分别放到一根线段上满足以上条件即可。
也就是说一个点要在中点的左边,另一个一个要在右边,这样的概率为:a左b右+a右b左=0.5*(0.5*0.5)+0.5*(0.5*0.5)=0.25
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