木棒问题

 

描述
XX有n根长度不同的木棒,有一天它把所有的木棒排成一行,用S1,S2,S3,...,Sn表示.量出每个木棒的长度Sk(1<=k<=n),它发现有两个木棒Si和Sj(1< = i < j < = n),它们之间的所有木棒都比Si要长比Sj短. 
现在给出每个木棒的长度,你需要找到满足上述条件的两个木棒Si和Sj,使得j-i最大. 
（请使用分治法解此题）
输入
输入含有多组数据.每组数据包括两行. 
第一行:一个正整数n(n<=50000),表示木棒的数目 
第二行:n个不同的正整数(不超过100000),表示木棒的长度序列S1,S2,S3,...,Sn
输出
输出最大可能的j-i值,如果这样的i和j不存在,输出-1
例子输入
4

5 4 3 6

4

6 5 4 3
例子输出
1

-1

解答：

这道题采用分治的解法，算法思想并不难。若要求解木棒数组坐标为从z到y，则首先找出该区间内的最大值和最小值所在的位置。设最小值为a[t],最大值为a[s].然后分为三种情况。

1、t=s。此时所有木棒长度相等，显然不符合题意，测结果为-1；

2、t<s。此时将原数组分为三段，z—t-1，t—s，s+1—y。显然第二段的结果即为s-t。然后递归求解剩余的两段，结果中的最大值即为所求；

3、t>s。此时数组也被分三段。z—s，s+1—t-1，t—y。三段中的最大值即为所求。

其实，这道题的难点和重点在于怎么求在给定的数组中，任意区间内的最大值和最小值。显然如果每次通过循环查找，太费时间，也会超时。所以应先用数组记录下来各区间的最值，需要时，就只需要O(1)时间的查找了。

以求最小值为例。最优的方法就是，用数组rmq[i][j]存放从i开始长为2^j的区段中最小值的位置 。首先初始化数组。当i=0时，区间长度为1，所以结果即为本身。计算rmq[i][j]时，将该区间分为两部分，i—i+2^(j-1)-1和i+2^(j-1)—i+2^j-1.

第一段即为rmq[i][j-1],第二段为rmq[i+2^(j-1)][j-1]。两段的最小值即为所求。因此可用动态规划来计算rmq数组。

当要计算区间f—t的最小值时，也将该区间分为两段。设l=t-f。i=[lon l]。将区间分为f—f+2^i-1和t-2^i+1—t。由于这两个区间的长度大于等于l，所以这两区间的最小值即为所求。而这两区间的最小值即为rmq[f][i]和rmq[t-2^i+1][i],前面已经求出。

#include<iostream>#include<stdio.h>using namespace std;int n=50000;int num[50000]; int rmq[50000][20]; // rmq[i][j]表示从i开始长为2^j的区段中最小值的位置 int rmp[50000][20]; // rmp[i][j]表示从i开始长为2^j的区段中最大值的位置 int Min(int a, int b) { return num[a] < num[b] ? a : b; } // 初始化rmq数组 void InitRMQ() { int i, j; for (i = 0; i < n; i ++) { rmq[i][0] = i; } for (i = 1; (1<<i)<=n; i ++) //1<=i<=log n { for (j = 0; j < n; j ++) { rmq[j][i] = rmq[j][i-1]; if (j + (1<<(i-1)) < n) { rmq[j][i] = Min(rmq[j][i], rmq[j+(1<<(i-1))][i-1]); } } } } // 查询下标从f到t的这一段数中(包含f和t)的最小值. // 返回最小值的下标 int QueryMin(int f, int t) { int i; int l = t - f + 1; for (i = 0; (1<<(i+1))<=l; i ++); //2^(i+1)<=l,即i=[log l] return Min(rmq[f][i], rmq[t-(1<<i)+1][i]); }int Max(int a, int b) { return num[a] > num[b] ? a : b; } // 初始化rmq数组 void InitRM() { int i, j; for (i = 0; i < n; i ++) { rmp[i][0] = i; } for (i = 1; (1<<i)<=n; i ++) { for (j = 0; j < n; j ++) { rmp[j][i] = rmp[j][i-1]; if (j + (1<<(i-1)) < n) { rmp[j][i] = Max(rmp[j][i], rmp[j+(1<<(i-1))][i-1]); } } } } // 查询下标从f到t的这一段数中(包含f和t)的最小值. // 返回最小值的下标 int QueryMax(int f, int t) { int i; int l = t - f + 1; for (i = 0; (1<<(i+1))<=l; i ++); return Max(rmp[f][i], rmp[t-(1<<i)+1][i]); }int juli(int z,int y) //计算木棒数组中从z到y，j-i的最大值{ int mmax=-1; if(z>=y) return -1; int i,j,l,r; i=QueryMin(z, y); //木棒最小值 j=QueryMax(z, y); //木棒最大值 if(i==j) //所有木棒长度相等，问题无解 return -1; if(i<j) //如果最小值在前，则原数组分为三段 { mmax=j-i; l=juli(z,i-1); if(l>mmax) //递归求解剩余的两段 mmax=l; r=juli(j+1,y); if(r>mmax) mmax=r; } if(j<i) //如果最大值在前，那么数组被分为三段 { mmax=juli(z,j); //分别递归求解三段的最大值 r=juli(i,y); if(r>mmax) mmax=r; l=juli(j+1,i-1); if(l>mmax) mmax=l; } return mmax;}int main(){ int i; while(cin>>n) { for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&num[i]); InitRMQ() ; InitRM() ; i=juli(0,n-1); printf("%d/n",i); } return 0;} 

转自：http://www.cnblogs.com/hanlei/archive/2010/07/04/1704767.html