SB tree——A temporal aggregation data structure

refer to Incremental computation and maintenance of temporal aggregates    ,Jun Yang1, JenniferWidom2 ,VLDBJ 2003

SB树是用来实现 时间聚集 的一种数据结构,不同于Size Balanced Tree。

接下来将以一个例子来讲述SB树的插入、删除、查找，以及其他一些操作。

Table1 表示了 病人的药剂用量，元组属性分别为 病人名字，药剂用量，有效时间（时间粒度为 1天） ，Fig.1 是Table1的坐标表示。

Table 2 表示 在某一时间段中，使用药剂的总量，这实际上是一个 SUM 的集函数操作。

SB-tree的数据结构介绍：

每一颗SB-tree都有两个参数：最大分支系数 b  和 最大叶子容量 l

每个中间节点最多能够容纳b个连续的时间区间，以Fig.2为例，节点N能够表示 j 个 时间区间，分别为N.I1, N.I2,……,N.Ij.而节点N中存放的是j-1个不同的瞬时时间点（按升序排列），第i个时间点用N.ti表示。第i个时间区间从 N,t(i-1)开始，到N.ti结束。N.vi表示 N.Ii的某一时间聚集函数的值，N.ci表示指向下一子节点的指针。

每个叶子节点与中间节点类似吗，除了没有指向下一节点的指针，最多能够表示l个时间区间，如Fig.3所示。

对于根节点的描述不是很懂，所以就不提出来了- - 

对于任何非叶子节点N，其N.ci的子树中的时间一定小于N.ti，N.ci+1的子树的时间一定大于N,ti

Fig.4就是针对于Table2建立的一棵SB-tree

考虑 i-th  时间区间，N.Ii的开始时间是这样子定义的：

结束时间是这样定义的：

SB-tree 的具体操作

查找: lookup(N,t)表示搜索节点N以及节点N为根的子树，具体是：

其中 在SUM 函数中就是 “+”

举个例子，假设我们要查找瞬时时间为19时的药剂总用量，那么我们从根节点开始，lookup(N0,19)，N0的第二个区间[15,30)包含19，而其值为1，所以接下来查找N2子树，lookup(N0,19)=1+lookup(N2,19). N2的第一个区间[15,20)包括19，其值为5，并且N2是叶子节点了，所以lookup(N0,19)=1+5=6

范围查询：结果返回与要查询的时间区间I重叠的元组，range(N,I,v)I表示要查询的时间区间，v表示当前查询到的aggregate value，用来递归调用

比如要查询[14.28),最终会返回 <8,[14,15)>,<6,[15,20)>,<7,[20,28)>

插入：假设插入时间t，t是在区间I中的，aggregated attribute是 Vbase，那么可以记为<V,I>。Insert(N,<V,I>) 的具体操作为：

比如向Table1中插入一个元组<"Ida",1,[17,47)>，我们首先执行Insert(N0,<1,[17,47)>) ,N0.I2 ，N0.I3，N0.I4都与[14,47)相交，而只有N0.I3=[30,45）完全被 [17，47）包含，所以直接令N0,v3加1，其他继续执行insert(N2,<1,[17,47)>)和insert(N4,<1,[17,47)>),结果如Fig.5

删除：插入的反操作，比如删除元组<"Ida",1,[17,47)>,相当于插入<"Ida",-1,[17,47)>，在Fig.5的基础上进行删除，结果如Fig.6所示

节点分裂：当向SB-tree插入一个元组时，可能会导致某一个节点溢出，溢出是指该节点的时间区间超过它能表示的最多区间数量，此时应该进行节点分裂。

分裂算法如下：

比如向Fig.4中执行Insert(N0,<1,[7,12)>)， 结果如Fig.7所示

此时N1溢出，所以将N1分裂成N11和N12，结果如Fig.8所示

此时N0溢出，所以将N0分裂成N01和N02，并生成一个新的根节点N0'，结果如Fig.9所示

区间合并：当完成插入或者删除操作后，可能存在两个相邻的区间的value是相同的（如Fig.6），这个时候就要进行区间的合并。

合并算法如下：