Floyd-Warshall算法详解（转）

Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法，用于求解任意两点间的最短距离，时间复杂度为O(n^3)。我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下：

1 void Floyd(){2     int i,j,k;3     for(k=1;k<=n;k++)4         for(i=1;i<=n;i++)5             for(j=1;j<=n;j++)6                 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])7                     dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];8 }

注意下第6行这个地方，如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在，程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i][k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j] < dist[i][j])，从而防止溢出所造成的错误。
上面这个形式的算法其实是Floyd算法的精简版，而真正的Floyd算法是一种基于DP(Dynamic Programming)的最短路径算法。
设图G中n 个顶点的编号为1到n。令c [i, j, k]表示从i 到j 的最短路径的长度，其中k 表示该路径中的最大顶点，也就是说c[i,j,k]这条最短路径所通过的中间顶点最大不超过k。因此，如果G中包含边 < i, j>，则c[i, j, 0] =边 < i, j> 的长度；若i= j ，则c[i,j,0]=0；如果G中不包含边 < i, j>，则c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 则是从i 到j 的最短路径的长度。
对于任意的k>0，通过分析可以得到：中间顶点不超过k 的i 到j 的最短路径有两种可能：该路径含或不含中间顶点k。若不含，则该路径长度应为c[i, j, k-1]，否则长度为 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取两者中的最小值。
状态转移方程：c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c [k, j, k-1]}，k＞0。
这样，问题便具有了最优子结构性质，可以用动态规划方法来求解。

为了进一步理解，观察上面这个有向图：若k=0, 1, 2, 3，则c[1,3,k]= +∞；c[1,3,4]= 28；若k = 5, 6, 7，则c [1,3,k] = 10；若k=8, 9, 10，则c[1,3,k] = 9。因此1到3的最短路径长度为9。
下面通过程序来分析这一DP过程，对应上面给出的有向图：

 1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3  4 const int INF = 100000; 5 int n=10,map[11][11],dist[11][11][11]; 6 void init(){ 7     int i,j; 8     for(i=1;i<=n;i++) 9         for(j=1;j<=n;j++)10             map[i][j]=(i==j)?0:INF;11     map[1][2]=2,map[1][4]=20,map[2][5]=1;12     map[3][1]=3,map[4][3]=8,map[4][6]=6;13     map[4][7]=4,map[5][3]=7,map[5][8]=3;14     map[6][3]=1,map[7][8]=1,map[8][6]=2;15     map[8][10]=2,map[9][7]=2,map[10][9]=1;16 }17 void floyd_dp(){18     int i,j,k;19     for(i=1;i<=n;i++)20         for(j=1;j<=n;j++)21             dist[i][j][0]=map[i][j];22     for(k=1;k<=n;k++)23         for(i=1;i<=n;i++)24             for(j=1;j<=n;j++){25                 dist[i][j][k]=dist[i][j][k-1];26                 if(dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1]<dist[i][j][k])27                     dist[i][j][k]=dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1];28             }29 }30 int main(){31     int k,u,v;32     init();33     floyd_dp();34     while(cin>>u>>v,u||v){35         for(k=0;k<=n;k++){36             if(dist[u][v][k]==INF) cout<<"+∞"<<endl;37             else cout<<dist[u][v][k]<<endl;38         }39     }40     return 0;41 }

输入 1 3
输出 +∞
+∞
+∞
+∞
28
10
10
10
9
9
9
Floyd-Warshall算法不仅能求出任意2点间的最短路径，还可以保存最短路径上经过的节点。下面用精简版的Floyd算法实现这一过程，程序中的图依然对应上面的有向图。

 1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3  4 const int INF = 100000; 5 int n=10,path[11][11],dist[11][11],map[11][11]; 6 void init(){ 7     int i,j; 8     for(i=1;i<=n;i++) 9         for(j=1;j<=n;j++)10             map[i][j]=(i==j)?0:INF;11     map[1][2]=2,map[1][4]=20,map[2][5]=1;12     map[3][1]=3,map[4][3]=8,map[4][6]=6;13     map[4][7]=4,map[5][3]=7,map[5][8]=3;14     map[6][3]=1,map[7][8]=1,map[8][6]=2;15     map[8][10]=2,map[9][7]=2,map[10][9]=1;16 }17 void floyd(){18     int i,j,k;19     for(i=1;i<=n;i++)20         for(j=1;j<=n;j++)21             dist[i][j]=map[i][j],path[i][j]=0;22     for(k=1;k<=n;k++)23         for(i=1;i<=n;i++)24             for(j=1;j<=n;j++)25                 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])26                     dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j],path[i][j]=k;27 }28 void output(int i,int j){29     if(i==j) return;30     if(path[i][j]==0) cout<<j<<' ';31     else{32         output(i,path[i][j]);33         output(path[i][j],j);34     }35 }36 int main(){37     int u,v;38     init();39     floyd();40     while(cin>>u>>v,u||v){41         if(dist[u][v]==INF) cout<<"No path"<<endl;42         else{43             cout<<u<<' ';44             output(u,v);45             cout<<endl;46         }47     }48     return 0;49 }

输入 1 3
输出 1 2 5 8 6 3

floyd算法
弗洛伊德（Floyd）算法过程：
１、用D[v][w]记录每一对顶点的最短距离。
２、依次扫描每一个点，并以其为基点再遍历所有每一对顶点D[][]的值，看看是否可用过该基点让这对顶点间的距离更小。

算法理解：
最短距离有三种情况：
１、两点的直达距离最短。（如下图 < v,x>）
２、两点间只通过一个中间点而距离最短。（图 < v,u>）
３、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。（图 < v,w>）

对于第一种情况：在初始化的时候就已经找出来了且以后也不会更改到。
对于第二种情况：弗洛伊德算法的基本操作就是对于每一对顶点，遍历所有其它顶点，看看可否通过这一个顶点让这对顶点距离更短，也就是遍历了图中所有的三角形（算法中对同一个三角形扫描了九次，原则上只用扫描三次即可，但要加入判断，效率更低）。
对于第三种情况：如下图的五边形，可先找一点（比如x，使< v,u>=2），就变成了四边形问题，再找一点（比如y,使 < u,w>=2），可变成三角形问题了（v,u,w），也就变成第二种情况了，由此对于n边形也可以一步步转化成四边形三角形问题。（这里面不用担心哪个点要先找哪个点要后找，因为找了任一个点都可以使其变成（n－1）边形的问题）。

floyd的核心代码:

for (k=0;k<g.vexnum;k++){    for (i=0;i<g.vexnum;i++)    {        for (j=0;j<g.vexnum;j++)        {            if (distance[i][j]>distance[i][k]+distance[k][j])            {                distance[i][j]=distance[i][k]+distance[k][j];            }        }    }}

结合代码 并参照上图所示 我们来模拟执行下 这样才能加深理解：
第一关键步骤：当k执行到x，i=v,j=u时，计算出v到u的最短路径要通过x，此时v、u联通了。
第二关键步骤：当k执行到u，i=v，j=y，此时计算出v到y的最短路径的最短路径为v到u，再到y(此时v到u的最短路径上一步我们已经计算过来，直接利用上步结果)。
第三关键步骤：当k执行到y时，i=v，j=w，此时计算出最短路径为v到y(此时v到y的最短路径长在第二步我们已经计算出来了)，再从y到w。
依次扫描每一点(k)，并以该点作为中介点，计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离，这就是floyd算法的精髓！同时也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环的原因.

//多源最短路径,floyd_warshall算法,复杂度O(n^3)//求出所有点对之间的最短路经,传入图的大小和邻接阵//返回各点间最短距离min[]和路径pre[],pre[i][j]记录i到j最短路径上j的父结点//可更改路权类型,路权必须非负!#define MAXN 200#define inf 1000000000typedef int elem_t;void floyd_warshall(int n,elem_t mat[][MAXN],elem_t min[][MAXN],int pre[][MAXN]){    int i,j,k;    for (i=0;i<n;i++)        for (j=0;j<n;j++)            min[i][j]=mat[i][j],pre[i][j]=(i==j)?-1:i;    for (k=0;k<n;k++)        for (i=0;i<n;i++)            for (j=0;j<n;j++)                if (min[i][k]+min[k][j]<min[i][j])                    min[i][j]=min[i][k]+min[k][j],pre[i][j]=pre[k][j];}