四分位数(定义、位置、数值）

一、定义

四分位数（Quartile）是统计学中分位数的一种，即把所有数据由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数据就是四分位数。

第一四分位数 (Q1)，又称“下四分位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第25%的数据。
       第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第50%数据。
      第三四分位数 (Q3)，又称“上四分位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第75%的数据。
      第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距（InterQuartile Range, IQR）。

二、四分位数的位置的确定

（一）方法一：

 先将变量值从小到大排列。

第一四分位数 (Q1)，又称“下四分位数”，位置的确定：

（1）首先计算n/4。

（2）如果n/4结果为整数，则下四分位数位于“n/4“的位置和（n/4）+1位置的中间。

（3）如果n/4结果不是整数，则向上取整，所得结果即为下四分位数的位置。

第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”，位置的确定：

    第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”位置在（ n+1）/2处。

 第三四分位数 (Q3)，又称“上四分位数”，位置的确定：

（1）首先计算3n/4。

（2）如果3n/4结果为整数，则上四分位数位于“3n/4“的位置和（3n/4）+1位置的中间。

（3）如果3n/4结果不是整数，则向上取整，所得结果即为上四分位数的位置。

（二）方法二

 先将变量值从小到大排列。

  第一四分位数 (Q1)，又称“下四分位数”，位置的确定：

位置：（n+1）/4。

第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”，位置的确定：

  位置： （n+1）/2处。

 第三四分位数 (Q3)，又称“上四分位数”，位置的确定：

位置：3(n+1)/4

（三）方法三（适用定序数据）：

第一四分位数 (Q1)，又称“下四分位数”，位置的确定：

位置：n/4。

第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”，位置的确定：

  位置： n/2处。

 第三四分位数 (Q3)，又称“上四分位数”，位置的确定：

位置：3n/4

三、四分位数的确定：

（一）方法一：

 先将变量值从小到大排列。

第一四分位数 (Q1)，又称“下四分位数”的确定：

（1）首先计算n/4。

（2）如果n/4结果为整数，则将“n/4“的位置和（n/4）+1位置上的两个变量值的算术平均数作为下四分位数。

（3）如果n/4结果不是整数，则向上取整，所得结果即为下四分位数的位置，该位置上的数即为下四分位数。

第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”的确定：

  （1）如果（ n+1）/2为整数，则该位置上的变量值即是中位数。

（2） 如果（ n+1）/2不是整数，则该位置上旁边的两个变量值的算术平均数作为中位数。

 第三四分位数 (Q3)，又称“上四分位数”的确定：

（1）首先计算3n/4。

（2）如果3n/4结果为整数，则将位于“3n/4位置上“的数值和（3n/4）+1位置上的两个变量值的算术平均数作为上四分位数。

（3）如果3n/4结果不是整数，则向上取整，所得结果即为上四分位数的位置，该位置上的数即为上四分位数。

（二）方法二

 先将变量值从小到大排列。

  第一四分位数 (Q1)，又称“下四分位数”，的确定：

（1）如果（ n+1）/4为整数，则该位置上的变量值即是下四分位数。

（2） 如果（ n+1）/4不是整数，则该位置上旁边的两个变量值的算术平均数作为下四分位数。

第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”的确定：

  （1）如果（ n+1）/2为整数，则该位置上的变量值即是中位数。

（2） 如果（ n+1）/2不是整数，则该位置上旁边的两个变量值的算术平均数作为中位数。

 第三四分位数 (Q3)，又称“上四分位数”的确定：

（1）如果3（ n+1）/4为整数，则该位置上的变量值即是上四分位数。

（2） 如果3（ n+1）/4不是整数，则该位置上旁边的两个变量值的算术平均数作为上四分位数。

（三）方法三（适用定序数据）：

第一四分位数 (Q1)，又称“下四分位数”的确定：

（1）如果 n/4为整数，则该位置上的顺序数据即是下四分位数。

（2） 如果n/4不是整数，则向上取整，所得结果即为下四分位数的位置，该位置上的顺序数据即为下四分位数。

第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”的确定：

  （1）如果 2n/4为整数，则该位置上的顺序数据即是第二四分位数。

（2） 如果2n/4不是整数，则向上取整，所得结果即为第二四分位数的位置，该位置上的顺序数据即为第二四分位数。

 第三四分位数 (Q3)，又称“上四分位数”的确定：

（1）如果 3n/4为整数，则该位置上的顺序数据即是上四分位数。

（2） 如果3n/4不是整数，则向上取整，所得结果即为上四分位数的位置，该位置上的顺序数据即为上四分位数。

（四）方法四(比例法）

1.第一四分位数 (Q1)，又称“下四分位数”的确定.

（1）先根据（n+1)/4计算出 下四分位数的位置

 (2) 再按比例计算出下四分位数

下四分位数=下四分位数的位置前项变量值+（下四分位数的位置后项变量值—下四分位数的位置前项变量值）X[（n+1)/4-(n+1)/4的取整值）]，即（n+1）/4的小数部分的数值。

2.第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”的确定。

（1）先根据2（n+1)/4计算出 第二四分位数的位置

 (2) 再按比例计算出下四分位数

第二四分位数=第二四分位数的位置前项变量值+（第二四分位数的位置后项变量值—第二四分位数的位置前项变量值）X[2（n+1)/4-2(n+1)/4的取整值）]，即2（n+1）/4的小数部分的数值。

2. 第三四分位数 (Q3)，又称“上四分位数”的确定：

（1）先根据3（n+1)/4计算出 第二四分位数的位置

 (2) 再按比例计算出下四分位数

第三四分位数=第三四分位数的位置前项变量值+（第三四分位数的位置后项变量值—第三四分位数的位置前项变量值）X[3（n+1)/4-3(n+1)/4的取整值）]，即3（n+1）/4的小数部分的数值。