【日常学习】【欧拉函数】codevs2296 仪仗队题解

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题目来源：SDOI2008

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先上题目

题目描述 Description

　　作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。

　　现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

 

 

输入描述 Input Description

　　共一个数N。

输出描述 Output Description

　　共一个数，即C君应看到的学生人数。

样例输入 Sample Input

4

样例输出 Sample Output

9

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于 30% 的数据，1<N<1000

对于 100% 的数据，1<N<40000

这道题目乍一看很拿下手，其实不难发现，每条线上看到第一个人就是说每一个可能的斜率上只能看见一个人。

这样问题变成了求可能存在的斜率数。斜率怎么表示呢？由于每个点都是以坐标形式表示，斜率就是y/x，如果x和y的最大公因数是1，即gcd（x,y）=1，那么它一定是这个斜率上的第一个点。因为如果他们的最大公因数不是1，比如是2，那么x和y可以约掉2，（4,2）就可以变成（2,1），因此（4,2）不是这条斜率上的第一个点。

那么有多少个gcd（x,y）=1的点呢？我们发现，整张图关于y=x对称，因此只需考虑下面一半即可。而斜率为0或n的情况很特殊，在对称轴上或边缘，先排除。其他的点，我们观察后可以发现，每一列上，横坐标x不变，y<x,而这一列上的出现新斜率的节点满足y与x除了1以外没有其他公因数。即y与x互质。每一列上与x互质的y有多少个呢？有欧拉函数phi(x)个。

欧拉函数：对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

因此，我们只需要求出这2到n-1的欧拉函数，乘以2再加上剩余的边缘和对称轴上的三个点，就可得出正确结果了。

这道题告诉我们：遇到gcd=1的情况，应考虑欧拉函数

上代码！

这里参考了ghy1953的欧拉函数模板 简洁明了 埃拉托色尼筛法与欧拉函数结合一次搞定

——亦以明死生之大，匹夫之有重于社稷也。