智力题 开灯问题

题目：

对一批编号为1-100，全部开关朝上（开）的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号是哪些？

分析：

就某个亮着的灯而言，如果拨其开关的次数是奇数次，那么，结果它一定是关着的。根据题意可知，号码为N的灯，拨开关的次数等于N的约数的个数，约数个数是奇数，则N一定是平方数。

证明：

如果数m是n的约数，那么数n/m一定也是n的约数，（它们是一对）。

但如果n是完全平方数时，存在这样的情况：m=根号n，m是n的约数，n/m与m相等（在其他情况下两者都不相等）。（此时单一个约数）

由以上两点可得n的约数个数一定是奇数。

因为10^2=100，可知100以内共有10个平方数，即，最后关熄状态的灯共有10盏，编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。

程序如下：

#include <iostream>using namespace std;//对一批编号为1-100，全部开关朝上（开）的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；//2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号是哪些？int main() {bool a[100]={0};for(int i=0;i<100;i++){a[i]=1;}for(int i=0;i<100;i++){for(int j=0;j<100;j++){if((j+1)%(i+1)==0){a[j]=!a[j];}}}for(int i=0;i<100;i++){if(a[i]==0){cout<<i+1<<"\t";}}return 0;}

运行结果如下：

1 4 9 16 2536 49 64 81 100